Задача 2 от НОМ 2018 Общински Кръг

[turtlefox]

В група от 36 ученици от девети клас 24 говорят английски, а 20 говорят немски. По
случаен начин избираме група от четири ученици.
а) Каква е вероятността трима да говорят само английски, а един само немски?
б) Каква е вероятността поне двама да говорят и двата езика?

П.С. Поствам тук само, за да мога да сверя мойте отговори.

[Davids]

Щом 24 говорят английски, а 20 говорят немски, то английски и немски говорят общо $24 + 20 - 36 = 8$ души. Тогава разпределяме:
1) 16 души говорят само английски;
2) 12 души говорят само немски;
3) 8 души говорят и двата езика.

Това значително улеснява комбинаториката занапред. Сега намираме общия брой възможни групи от по 4 от общо 36 ученици: $C^4_{36} = \frac{36.35.34.33}{4.2.3.1} = 3.17.35.33$ (ще осставим числото в този вид)
Класическата вероятност представлява отношението на благоприятните към общия брой случаи. Общия брой вече го имаме, остава да си изчислим за всяка подточка и благоприятните

а) Всички групи от по трима, говорещи само английски, и един, говорещ само немски, са $C^3_{16}.C^1_{12} = \frac{16.15.14}{3.2.1}.12 = 12.16.35$ на брой. Тогава вероятността ни е $P = \frac{12.16.35}{3.17.33.35} = \frac{16.4}{11.51} = \frac{64}{561}$

б) Всички групи с поне двама говорещи двата езика намираме по формулата $C^2_8.C^2_{34} = \frac{8.7}{2.1}.\frac{34.33}{2.1} = 28.17.33$. Тогава вероятността ни е $P = \frac{28.17.33}{3.17.33.35} = \frac{28}{105}$

Ако не съм объркал някоя сметка, това би трябвало да са числата.