USA Winter TST for IMO 2020, Николай Белухов

[drago]

Една интересна и приятна задача с автор Николй Белухов, предложена на контролните на САЩ за ММО 2020. Това е втора негова задача предлагана на USA TST. Предишната - миналата година. И двете са в стил "парадоксална глваоблъсканица". (терминът е мой). Приятно решаване.

Нека $\alpha\geq 1$ е реално число. Хефест и Посейдон играят на безкрайна шахматна дъска. В първата фаза Посейдон си избира някои от квадратчетата и ги "наводнява"(маркира ги като наводнени). След това започва играта, като двамата се редуват и пръв започва Хефест. Той иска да построи дига около наводнената област по страните на квадратчетата. На всеки ход може да строи части от дигата като избира отсечки, една или повече, от страните на квадратчетата. Изискването е, на $n$-тия ход да не е построил повече от $\alpha \cdot n$ такива отсечки. Не е задължително отсечките, които избира на всеки ход, да са свързани. При всеки ход на Посейдон, той наводнява допълнителни квадратчета, които имат обща страна с вече наводнени такива, и няма дига между тях.
За кои числа $\alpha$, Хефест може да построи затворена дига около наводнения участък, независимо от първоначално наводнена област, която Посейдон избира в първата фаза?