Координатна система

[simona_ovcharova]

Спрямо дадена координатна система $Oxy$ са построени точките $A(0;3)$ и $B(4;0)$. Намерете дължината на медианата $OM$ на $\triangle AOB$ и координатите на т. $M$.

geogebra-export.png (492.25 KiB) Прегледано 1022 пъти

Скрит текст: покажи

Отговорите, които са дадени в сборника, са $(2;\dfrac{3}{2})$ и $2,5$ единици.

Не си спомням да съм срещала такива задачи в училище досега, но може и да се е получила някаква "дупка" заради многото промени, които направиха в учебниците и в програмата. Намерих в интернет формула за координатите на медицентър на триъгълник по координатите на трите върха.

Ако $M$ е медицентърът, то: $x_M=\dfrac{x_O+x_A+x_B}{3}=\dfrac{0+0+4}{3}=\dfrac{4}{3}$ и $y_M=\dfrac{y_O+y_A+y_B}{3}=\dfrac{0+3+0}{3}=\dfrac{3}{3}=1$. Тоест точката $M$ е с координати $(\dfrac{4}{3};1)$. За дължината на медианата $OM$ отново потърсих в интернет и намерих, че разстоянието между всеки две точки в координатната системата може да се пресметне по следната формула: $d(A(x_1;y_1); B(x_2;y_2))=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$. В нашия случай: $d(O;M)=\sqrt{(\dfrac{4}{3}-0)^2+(1-0)^2}=\sqrt{\dfrac{16}{9}+1}=\sqrt{\dfrac{25}{9}}=\dfrac{5}{3}$. Това ли е начинът, по който се очаква от мен да реша задачата, която, между другото, е от сборника по алгебра на Коста Коларов. Трябва ли да се обоснове нещо по-подробно? Благодаря ви предварително!

[Добромир Глухаров]

В случая точка М не е медицентъра, а средата на АВ. Иначе пак горе-долу така се решава.

[simona_ovcharova]

В случая точка М не е медицентъра, а средата на АВ. Иначе пак горе-долу така се решава.

Да! Точката с координати $(2;\dfrac{3}{2})$ е средата на $AB$.

[Добромир Глухаров]

В случая точка М не е медицентъра, а средата на АВ. Иначе пак горе-долу така се решава.

Да! Точката с координати $(2;\dfrac{3}{2})$ е средата на $AB$.

Координатите на центъра на отсечка са средноаритметични на координатите на краищата й.

[ptj]

Не знам дали можеш да ползваш наготово формули свързани с Аналитичната гометрия, но за тази задача има доста по-лесно решение с вектори.

[tex]\vec{ОМ}=\frac{2}{3}(\frac{\vec{OA}+\vec{OB}}{2})=\frac{\vec{OA}}{3}+\frac{\vec{OB}}{3}[/tex]

Понеже [tex]\vec{OA}[/tex] лежи на ординатата, [tex]|\vec{OA}|=3[/tex], то [tex]\vec{ОА}=3.\vec{OY}[/tex], където [tex]Y(0;1)[/tex].

Аналогично [tex]\vec {OB}=4.\vec{OX}[/tex], където [tex]X(1;0)[/tex].

Тогава [tex]\vec{OM}=\frac{4}{3}\vec{OX}+\vec{OY}\Leftrightarrow M(\frac{4}{3};1)[/tex].

[tex]|OM|=\sqrt{(\frac{4}{3})^2+1^2}=\sqrt{\frac{25}{9}}=\frac{5}{3}[/tex]


П.П. Координатите на точка (или вектор с начало, съвпадащо с координатното начало)
са точно коефициентите от изразяването му пред съответните единични вектори по направленията на координатните оси
(в нашия случай [tex]\vec {OX}[/tex] и \vec{OY}).