Модулно квадратно параметрично уравнение

[radyivanov]

Задачата е следната:
За кои стойности на параметъра а уравнението има четири различни решения:
2a(x+1)^{2} - |x+1| + 1 = 0

Отговорът е: a [tex]\in[/tex] (0; 1/8 )

[DekataBG]

Положи абсолютната стойност на x+1 да е равна на y.И полученото уравнение трябва да има положителни корени и положителна дискриминанта.

[Davids]

Нека за улеснение положим $t = |x +1|$.
Искаме две неотрицателни решения за: $2at^2 - t + 1 = 0$
$\Leftrightarrow \begin{array}{|l} D > 0 \\ 2af(0) \ge 0 \\ \frac{1}{4a} > 0 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} a < \frac{1}{8} \\ a > 0 \end{array}$

Така достигаме до окончателния отговор.

[radyivanov]

Задачата е давана на олимпиада по математика 9 клас 2011 и на приемен изпит в ТУ 2016.
Чуйте какво правя. Един деветокласник не знае формули за разположение на корените нито аз бих се сетих за тях, но благодаря за идеята!
Първо гарантирам, че а e различно от 0.
После представям във вида: |x+1| = 2a(x+1)^2 + 1
Оттук два случая като в седми клас и получавам уравненията:
1сл: 2ax^2 + (4a-1)x + 2a = 0
2сл: 2ax^2 + (4a+1)x + 2(a+1) = 0
Оттук и за двете задачи правя D > 0 за два различни корена и получавам като отговор a<1/8.
Имам допустима стойност за а различно от 0 и тогава решението ми става a [tex]\in[/tex] (-∞;0) \cup (0; 1/8)
Въпросът ми е какво трябва да направя, за да оставя за решение а \in (0; 1/8) ?

[Davids]

Задачата е давана на олимпиада по математика 9 клас 2011 и на приемен изпит в ТУ 2016.
Чуйте какво правя. Един деветокласник не знае формули за разположение на корените нито аз бих се сетих за тях, но благодаря за идеята!
Първо гарантирам, че а e различно от 0.
После представям във вида: |x+1| = 2a(x+1)^2 + 1
Оттук два случая като в седми клас и получавам уравненията:
1сл: 2ax^2 + (4a-1)x + 2a = 0
2сл: 2ax^2 + (4a+1)x + 2(a+1) = 0
Оттук и за двете задачи правя D > 0 за два различни корена и получавам като отговор a<1/8.
Имам допустима стойност за а различно от 0 и тогава решението ми става a [tex]\in[/tex] (-∞;0) \cup (0; 1/8)
Въпросът ми е какво трябва да направя, за да оставя за решение а \in (0; 1/8) ?

Двата случая, които разглеждаш, също са определени от знака на $x + 1$, т.е. така или иначе ти трябва знание за разположението на корените на квадратно уравнение... Инак трудно.

[radyivanov]

Тогава би ли ми обяснил твоето решение, защото е вярно?
Отворих си учебника от 10 клас с формулите за разположение на корените и не разбирам идеята.
Моля те пръсни светлина в положението.

[ptj]

Всяко уравнение от втора степен има точно две решения. Като неговите корени са или реални или комплексни числа.

[tex]2at^2-|t|+1=0[/tex] има 4 четири решения, точно когато то се разпада на 2 квадратни уравнения,
т.е. когато [tex]t\ne |t| \Leftrightarrow t<0[/tex].

Получените две квадратни уравнения имат точно по два реални корена, тогава и само тогава когато техните дискриминанти са неотрицателни.

Понеже знака на [tex]а[/tex] определя посоката на графиката на квадратно уравнение, затова [tex]а.f(m)>0[/tex] е условието, когато реалното число [tex]m[/tex] e извън корените.

Съответно ако [tex]\frac{-b}{2a}<m[/tex] двата корена са наляво от числото.

Понеже получените 2 дискриминанти са еднакви се получава точно системата на Davids.

П.П. Има само малка неточност - всички неравенства трябва да са строги.

[DekataBG]

Един деветокласник не знае формули за разположение на корените нито аз бих се сетих за тях, но благодаря за идеята!

Не сте ли учили формулите на Виет?

[radyivanov]

Един деветокласник не знае формули за разположение на корените нито аз бих се сетих за тях, но благодаря за идеята!

Не сте ли учили формулите на Виет?

Да, формулите на Виет се учат в 9 клас.
Но формули за разположение на корените се учат в 10 клас.

[simona_ovcharova]

Да, формулите на Виет се учат в 9 клас.
Но формули за разположение на корените се учат в 10 клас.

Формули на Виет се учат в 8. клас.

[ptj]

Давана е на олимпиада за 9-ти клас- което означава, че може да се реши с знания за 9-ти клас, но се иска малко нетрадиционно мислене.

Обяснението защо при [tex]|t|\ne t[/tex] даденото в условието уравнение се разпада на две квадратни е достъпно за редови 9-класник.
Съществуването на корени се обуславя от дискриминантата.
От формулите на Виет може да се определи кога и двата корена са положителни.

По принцип един осмокласник със знаия над средните също би могъл да я реши и без формули на Виет.
Всяко квадратно уравнение може да се представи във вида :
[tex]а(x-x_1)(x-x_2)=0[/tex]

Ако този израз се раавие и се използва правилото за тъждественост на два полинома се получават точно формулите на Виет.
Друг начин е директно да се използва формулата за корените и да се определи кога по-малия от тях е отрицателно число.

[radyivanov]

Да, формулите на Виет се учат в 9 клас.
Но формули за разположение на корените се учат в 10 клас.

Формули на Виет се учат в 8. клас.

Ние сме по старата програма! При нас бяха в 9 клас!