Задача по стереометрия, 2010 год.

[poankare56]

В пространството са дадени правоъгълен 4ABC с хипoтенуза AB и равнина τ. Нека α = ∠(AC,τ), β = ∠(BC,τ) и ϕ = ∠(ABC,τ). а) Да се докаже, че sin2 ϕ = sin2 α + sin2 β. б) Ако α + β = 60◦, да се намери най-малката стойност на ϕ.

[S.B.]

Без заглавие (48).png (245.17 KiB) Прегледано 450 пъти

В пространството са дадени правоъгълен 4ABC с хипoтенуза AB и равнина τ. Нека α = ∠(AC,τ), β = ∠(BC,τ) и ϕ = ∠(ABC,τ). а) Да се докаже, че sin2 ϕ = sin2 α + sin2 β. б) Ако α + β = 60◦, да се намери най-малката стойност на ϕ.

След доста "терзания" ,"проби" и след дълго взиране в условието на задачата,стигнах до убеждението ,че щом пише $sin2$ $ \alpha$ с интервал между $2$ и $\alpha$ то условието би трябвало да е:Да се докаже,че
[tex]sin^{2}\alpha + sin^{2}\beta = sin^{2}\varphi[/tex] , а не както изглежда : [tex]sin2\alpha + sin2\beta = sin2\varphi[/tex]
Разликата е огромна!!!
а)
$\triangle ABC$ се проектира в дадената равнина,като хипотенузата $AB$ е пресечница на равнината на триъгълника и проекционната равнина.Нека $CC_{1 } = d , AC = b , BC = a ,CH = h$
От $\triangle ACC_{1 } \rightarrow sin\alpha = \frac{CC_{1 }}{AC} = \frac{d}{b} \Rightarrow sin^{2}\alpha = \frac{d^{2}}{b^{2}}$
От $\triangle BCC_{1 } \rightarrow sin\beta = \frac{CC_{1 }}{BC} = \frac{d}{a} \Rightarrow sin^{2}\beta = \frac{d^{2}}{a^{2}}$
От $\triangle HCC_{1 } \rightarrow sin\varphi = \frac{CC_{1 }}{CH} = \frac{d}{h} \Rightarrow sin^{2}\varphi = \frac{d^{2}}{h^{2}}$
$sin^{2}\alpha + sin^{2}\beta = \frac{d^{2}}{b^{2}} + \frac{d^{2}}{a^{2}} = d^{2}(\frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{a^{2}}) = d^{2}(\frac{a^{2} + b^{2}}{a^{2}b^{2}})$
От $ \frac{ab}{2} = S_{ABC } \Rightarrow a^{2}b^{2} = 4S^{2}$ и $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ получавам:
$sin^{2}\alpha + sin^{2}\beta = \frac{d^{2}.c^{2}}{4.S^{2}}$ (*)
$sin^{2}\varphi = \frac{d^{2}}{h^{2}}$
Но $S_{ABC } = \frac{ch}{2} \Rightarrow S^{2} = \frac{c^{2}.h^{2}}{4} \Rightarrow h^{2} = \frac{4S^{2}}{c^{2}}$ и получавам:$sin^{2}\varphi = \displaystyle\frac{d^{2}}{\displaystyle\frac{4S^{2}}{c^{2}}}$ или :
$sin^{2}\varphi = \frac{d^{2}.c^{2}}{4S^{2}}$(**)
От (*) и (**) следва: $$sin^{2}\alpha + sin^{2}\beta = sin^{2}\varphi$$
За б) получавам $\varphi = 45^\circ$ , но не съм сигурна

[S.B.]

В пространството са дадени правоъгълен 4ABC с хипoтенуза AB и равнина τ. Нека α = ∠(AC,τ), β = ∠(BC,τ) и ϕ = ∠(ABC,τ). а) Да се докаже, че sin2 ϕ = sin2 α + sin2 β. б) Ако α + β = 60◦, да се намери най-малката стойност на ϕ.

б)
[tex]\alpha + \beta = 60^\circ \Rightarrow \beta = 60^\circ - \alpha[/tex]
$sin^{2}\alpha + sin^{2}\beta = sin^{2}\alpha + sin^{2}(60 - \alpha) = $
$ = [sin\alpha + sin(60 - \alpha)]^{2} - 2sin\alpha.sin(60 -\alpha) = $
$ = [sin30^\circ.cos(\alpha - 30^\circ)]^{2} - cos(2\alpha - 60^\circ) + cos60^\circ = $
$ = cos^{2}(\alpha - 30^\circ) - cos(2\alpha - 60^\circ) + \frac{1}{2} = $
$ = \frac{1 + cos(2\alpha - 60^\circ)}{2} - cos(2\alpha - 60^\circ) + \frac{1}{2} = $
$ = 1 - \frac{1}{2}cos(2\alpha - 60^\circ )$
Нека $f(\alpha) = \sqrt{1 - \frac{1}{2}cos(2\alpha - 60^\circ)}$
Тогава $f'(\alpha) = \frac{sin(2\alpha - 60^\circ)}{\sqrt{4 - 2cos(2\alpha - 60^\circ)}}$
Решавам $f'(\alpha) = 0 \Leftrightarrow sin(2\alpha - 60^\circ) = 0 \Rightarrow 2\alpha - 60^\circ = 0 \Rightarrow \alpha = 30^\circ $
или $2\alpha - 60^\circ = 180^\circ \Rightarrow \alpha = 120^\circ$
Получи се ,че за $\alpha = 30^\circ ,\alpha = 120^\circ$ съществува екстремум
$f''(\alpha) = \displaystyle\frac{2cos(2\alpha-60^\circ)}{\sqrt{4 - 2cos(2\alpha - 60^\circ)}}- \displaystyle\frac{2sin^{2}(2\alpha - 60^\circ)}{[4 - 2cos(2\alpha - 60^\circ)]^{\displaystyle\frac{3}{2}}}$
$f''(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{2}} > 0 \Rightarrow $ за $\alpha = 30^\circ$ функцията има минимум
$f''(120^\circ) = \frac{-2}{\sqrt{6}} < 0 \Rightarrow$ за $\alpha = 120^\circ$ функцията има максимум
$f_{min } = f(30^\circ) = \sqrt{1 - \frac{1}{2}cos(2.30^\circ - 60^\circ)} = \sqrt{1 - \frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$
Получихме ,че минималната стойност на $ \sqrt{sin^{2}\alpha + sin^{2}\beta} = sin\varphi = \frac{\sqrt{2}}{2} $

Скрит текст: покажи

Използвам резултата доказан в а) : $sin^{2}\alpha + sin^{2}\beta = sin^{2}\varphi$

$\Rightarrow \varphi = 45^\circ$ или $\varphi = 135^\circ$

[poankare56]

Благодаря Ви за решението; аз разгледах случаи, в които хипотенузата не лежи непременно в ранината от условието, както и случай, в който тази равнина е успоредна на един от катетите; иначе отговорът е 45 градуса,т.к. фи е в интервала 0-90 градуса

[S.B.]

Благодаря Ви за решението; аз разгледах случаи, в които хипотенузата не лежи непременно в ранината от условието, както и случай, в който тази равнина е успоредна на един от катетите; иначе отговорът е 45 градуса,т.к. фи е в интервала 0-90 градуса

За отговора сте прав,защото всъщност се търси най - малката стойност на [tex]\varphi[/tex] за която е изпълнено указаното условие.Тъй като в интервала $(0^\circ;90^\circ)$ функцията $sin\varphi$ е растяща и на по- малките стойности на аргумента отговарят по - малките стойности на функцията.Най - малката стойност в случая е $sin\varphi = \frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow $най - малката стойност на аргумента е $\varphi = 45^\circ$ ,докато $135^\circ \in (90^\circ ;180^\circ)$ , където $sin\varphi$ е намаляваща и на по-голями стойности на аргумента отговарят по-малки стойности на функцията.
Ще се радвам да видя случаите,които Вие сте разглеждали, придружени с чертежи и доказателства. Очаквам с нетърпение!