Планиметрия, трапец и ъглополовящи

[poankare56]

В трапец ABCD,AB >CD,вписанатаокръжност в триъгълник ABD допира страните AB и BD съответно в точки M и N, а вписаната окръжност в триъгълник ACD допира страните AC и DC съответно в точки P и Q. Да се докаже, че пресечната точка на правите MN и PQ лежи на средната основа на трапеца.

[S.B.]

Без заглавие (11).png (478.14 KiB) Прегледано 387 пъти

В трапец ABCD,AB >CD,вписанатаокръжност в триъгълник ABD допира страните AB и BD съответно в точки M и N, а вписаната окръжност в триъгълник ACD допира страните AC и DC съответно в точки P и Q. Да се докаже, че пресечната точка на правите MN и PQ лежи на средната основа на трапеца.

[tex]PQ \cap MN = K[/tex]
Ще докажем ,че $т.K$ е пресечна точка на ъглополовящите на ъглите $\angle BAD , \angle ADC$
Ще докажа за ъгъл $\angle BAD$ , за $\angle ADC$ се доказва по аналогичен начин.
Построявам права $m = MG , q \begin{cases} q z K\\ q || O_{1 }M\\q\cap m = S ,q\cap AB = U , q \cap DC = V\end{cases} , p\begin{cases} p z K \\ p || O_{1 } G\\p\cap m = L , p\cap AD = W\end{cases}$
$O_{1 }M = O_{1 }G$ (като радиуси $\Rightarrow О_{1 }$ принадлежи на симетралата на $GM, O_{1 }T \bot GM \Rightarrow O_{1 }T \bot m$
$\triangle LSK \approx \triangle GMO_{1 }$ (защото по построение ъглите им са с взаимно успоредни рамене) $\triangle GMO_{1 }$ е равнобедрен $ \Rightarrow \triangle LSK$ е равнобедрен и $KL = KS ,\triangle KTL \cong \triangle KTS \Rightarrow K$ принадлежи на симетралата на $LS ,KT \bot LS \Rightarrow KT \bot m$

Точка $K$ и точка $O_{1 }$ са в една и съща полуравнина относно правата $m$
За т.$K$ има две възможности - или лежи на правата $O_{1 }T$ или не.
Ако допуснем,че не лежи на $O_{1 }T$ тогава съществуват 2 перпендикуляра в т.$T$ към правата $m$ - $KT \bot m$ и $O_{1 }T\bot m$,което е невъзможно $\Rightarrow K,T и O_{1 } $ лежат на една права ,която е ъглополовящата на $\angle BAD , \Rightarrow KU = KW$
Аналогично се доказва и че $К$ принадлежи и на ъглополвящата на $\angle ADC \Rightarrow KV = KW$
От $\begin{cases} KU = KW \\ KV = KW \end{cases} \Rightarrow KU = KV \Rightarrow $ т. $К$ принадлежи на средната основа на трапеца

[KOPMOPAH]

Добра задача, хубаво решение!