Областен кръг на НОМ 2020 година

[Меди]

Това беше първата задача за $9$ клас:

Да се намерят всички стойности на реалния параметър $a$, за които един от корените на уравнението $|ax|x+x+6=0$ е реципрочен на корен на уравнението $2|ax|x+(a+2)x-a=0$.

Реш.: Нека $z$ е корен на първото уравнение, който е реципрочен на корен на второто $(z \ne 0)$. Следователно следните равенства са изпълнени:
[tex]\begin{array}{|l} |az|z+z+6=0 \\ 2|a\cdot \dfrac{1}{z}|\cdot \dfrac{1}{z}+(a+2)\cdot \dfrac{1}{z} - a=0 \end{array}[/tex]
Оттук трябва да започнем да разглеждаме различните случаи, в зависимост от знака на $az$ $(az\ge 0, az<0)$. Опираме се на това, че $|A|=\begin{cases} A, A\ge 0 \\ -A, A<0 \end{cases}$. При $az\ge0$, получавам $a=-3$ и $z=\dfrac{1-\sqrt{73}}{6}$** и $a=-1$ и $z=-2$. Нямаме стойности на $a$ във втория случай.

**$z=\dfrac{1+\sqrt{73}}{6}$ е също решение на $3z^2-z-6=0$, но при $a=-3$, $az\ge0$ няма да бъде изпълнено при $z=\dfrac{1+\sqrt{73}}{6}>0$.

П.П. Лично аз не се сетих, че можем да намерим търсените стойности на $a$ като си съставим система, всяко от уравненията на която изразява това, че $z$ и $\dfrac{1}{z}$ са съответно решения на първото и второто уравнение от условието (решение на уравнение с едно неизвестно наричаме всяка стойност на неизвестното, която превръща уравнението във вярно числово равенство). Ще съм благодарен, ако някой разясни (по-строго) защо можем да съставим система от двете уравнения.

[drago]

... Ще съм благодарен, ако някой разясни (по-строго) защо можем да съставим система от двете уравнения.

Ами просто е. Нека $a_0$ е една стойност на параметъра, за която това е изпълнено и $x_0$ е съответния корен на първото у-ние, за който $1/x_0$ е корен на второто у-ние. Тогава имаме:

$\displaystyle |a_0x_0|x_0+x_0+6=0$
$\displaystyle 2\left|a_0 \frac{1}{x_0}\right|\frac{1}{x_0}+(a_0+2)\frac{1}{x_0}-a_0 = 0$
което показва, че $(a_0,x_0)$ удовлетворяват твоята система.