Точки върху височини

[KOPMOPAH]

В остроъгълния триъгълник $\triangle ABC$ върху височините $AA_1$ и $BB_1$ са взети точките $P\in AA_1$ и $Q\in BB_1$ така, че ъглите $\measuredangle AQC$ и $\measuredangle BPC$ са прави.
Да се докаже, че $CP=CQ$.

Скрит текст: покажи

Точки върху височини-0.png (12.83 KiB) Прегледано 470 пъти

По примера на един участник във форума - начертах ги точно и ги измерих! Наистина са равни!

[123a]

От правоъгълния [tex]\triangle CPB => PC^2= CA_1.BC[/tex]

От правоъгълния $\triangle AQC => CQ^2= CB_1.AC$


Около четириъгълник $ABA_1B_1$ може да се опише окръжност $=> CA_1. BC=CB_1.AC => CQ=PC$

[KOPMOPAH]

Точки върху височини-2.png (23.68 KiB) Прегледано 404 пъти

Аз прекарах трите окръжности. Червените ъгли са равни, ясно защо. От подобните триъгълници $\triangle APC \approx \triangle B_1PC$, съответно $\triangle BQC \approx \triangle A_1QC$ следва, че $$CP^2=CB_1.CA \\ CQ^2=CA_1.CB$$ а пък от своя страна $$CB_1.CA=CA_1.CB $$ заради секущите през т.$B$.

Следователно:$$CP^2=CQ^2$$

[S.B.]

Аз прекарах трите окръжности....

А пък аз прекарах само двете и после цяла вечност се взирах в чертежа и не можех да разбера какво точно ми липсва за да реша тази хубава задача ...