Стереометрия-правоъгълен триъг. и двустенни ъгли

[poankare56]

Намерете обема на пирамида, основата на която е правоъгълен тр. с катет а и прилежащ към него остър ъгъл алфа, околната й стена през този катет е перпендикулярна на основата, а другите две ок.стени сключват ъгли бета с осн.

[S.B.]

Без заглавие (59).png (271 KiB) Прегледано 374 пъти

Намерете обема на пирамида, основата на която е правоъгълен тр. с катет а и прилежащ към него остър ъгъл алфа, околната й стена през този катет е перпендикулярна на основата, а другите две ок.стени сключват ъгли бета с осн.

По условие равнината [tex](BCD) \bot (ABC) \Rightarrow[/tex] височината на пирамидата лежи в $(BCD)$ и е перпендикулярна на $BC$; Стените $(BAD)$ и $(CAD)$ сключват равни ъгли $\beta$ с равнината на основата $\triangle ABC \Rightarrow$ пресечницата на равнините на двете околни стени - околният ръб $AD$ се проектира върху ъглополовящата на $\angle BAC$ .Следователно върхът $D$ на пирамидата се проектира върху пресечната точка $H$ на катета $BC$ и ъглополовящата $AH$.
$DH$ е височината на пирамидата.
За основата $\triangle ABC \rightarrow \frac{AC}{BC} = tg\alpha \Leftrightarrow AC = BC.tg\alpha \Rightarrow AC = a.tg\alpha $
$ \frac{BC}{AB} = cos\alpha \Leftrightarrow \frac{a}{AB} = cos\alpha \Rightarrow AB = \frac{a}{cos\alpha}$

Нека $HC = x, BH = a - x$
$AH$ - ъглополовяща и от свойството на ъглополовящата имаме:
$\displaystyle\frac{BH}{HC} = \displaystyle\frac{AB}{AC} \Leftrightarrow \displaystyle\frac{a - x}{x} = \displaystyle\frac{\displaystyle\frac{a}{cos\alpha}}{a.tg\alpha} \Leftrightarrow \displaystyle\frac{a - x}{x} = \displaystyle\frac{\displaystyle\frac{a}{cos\alpha}}{\displaystyle\frac{a.sin\alpha}{cos\alpha}} \Leftrightarrow \displaystyle\frac{a -x}{x} = \displaystyle\frac{1}{sin\alpha}$
От където се получава $x = \frac{a.sin\alpha}{1 + sin\alpha} \Rightarrow HC = \frac{a.sin\alpha}{1 + sin\alpha}$
$HP = HC$ като разстояния от точка $H$ ,принадлежаща на ъглополовящата $AH$ до раменете на $\angle BCA$ .
От $\triangle HCD \rightarrow \frac{HD}{HC} = tg\beta \Leftrightarrow HD = HC.tg\beta \Rightarrow HD = \frac{a.sin\alpha.tg\beta}{1 + sin\alpha}$
$S_{ABC } = \frac{BC.AC}{2} = \frac{a^{2}.tg\alpha}{2}$
$V_{ABCD } = \frac{1}{3}.S_{ABC }.DH = \frac{1}{3}.\frac{a^{2}.tg\alpha}{2}.\frac{a.sin\alpha.tg\beta}{1 + sin\alpha}$
$$V_{ABCD } = \frac{a^{3}.sin\alpha.tg\alpha.tg\beta}{6(1 + sin\alpha)} = \frac{a^{3}.sin^{2}\alpha.tg\beta}{6.cos\alpha(1 + sin\alpha)}$$