Пирамида и обем

[poankare56]

През основен връх на прав.триъг. пир. е построен перпенд. към срещулежащата ок.стена, разделящ височ. на пирамидата на отсечки дължина а и b, считано от основата. V=?

[S.B.]

Без заглавие (57).png (419.44 KiB) Прегледано 429 пъти

През основен връх на прав.триъг. пир. е построен перпенд. към срещулежащата ок.стена, разделящ височ. на пирамидата на отсечки дължина а и b, считано от основата. V=?

Пирамидата е правилна,триъгълна $\Rightarrow$ основата е [tex]\triangle ABC[/tex] равностранен със страна $x$
Върхът на пирамидата $D$ се проектира върху т.$H$ - център на вписаната и описаната окръжност - пресечната точка на медианите в основата.Ако $CM$ е медиана (също височина и ъглополовяща!) тогава $CM = \frac{x\sqrt{3}}{2}$ съответно $CH = \frac{x\sqrt{3}}{3} , MH = \frac{x\sqrt{3}}{6}$
Построявам по околния ръб $CD$ и по медианата $CM$ сечението $CDM$
$H\in CM , \Rightarrow DH\in CDM$
Разглеждам сечението ,$\triangle CDM$
По условие $CK \bot MD ,CK\cap DH = T , HT = a ,CT = b$
Нека $\angle DMC = \alpha$
От $\triangle DHM \rightarrow \displaystyle\frac{DH}{MH} = tg\alpha \Leftrightarrow \displaystyle\frac{a + b}{\displaystyle\frac{x\sqrt{3}}{6}} $
$\Rightarrow tg\alpha = \displaystyle\frac{6(a + b)}{x\sqrt{3}}$
От $\triangle THC \rightarrow \displaystyle\frac{TH}{HC} = tg(90^\circ - \alpha) \Leftrightarrow \displaystyle\frac{a}{\displaystyle\frac{x\sqrt{3}}{3}} = cotg\alpha \Rightarrow cotg\alpha = \displaystyle\frac{3a}{x\sqrt{3}}$
$ \Leftrightarrow tg\alpha = \displaystyle\frac{x\sqrt{3}}{3a}$
Получихме,че $\displaystyle\frac{6(a + b)}{x\sqrt{3}} = \displaystyle\frac{x\sqrt{3}}{3a} \Rightarrow x^{2} = 6a(a + b)$
$S_{ABC } = \frac{x^{2}\sqrt{3}}{4} \Rightarrow S_{ABC } = \frac{3a(a + b)\sqrt{3}}{2}$
$V_{ABCD } = \frac{S_{ABC }.CD}{3} = \frac{(a + b)}{3} .\frac{3a(a + b)\sqrt{3}}{2}$ $$V_{ABCD } = a(a + b)^{2}\frac{\sqrt{3}}{2}$$

[poankare56]

Благодаря Ви за решението, както и за чертежите към него, оценявам старанието Ви! Аз я реших много по-дълго, като приложих Теоремата на Менелай за триъг. MDC и точки K,T,C;

[KOPMOPAH]

През основен връх на прав.триъг. пир. е построен перпенд. към срещулежащата ок.стена, разделящ височ. на пирамидата на отсечки дължина а и b, считано от основата. V=?

Много букви, голямо разточителство, пиши направо "Прз осн врх на прв трг пир е пострн прпнд..."

Скрит текст: покажи

Приема се подобен запис само, ако е писан на телефон, пардон - смартфон.

П.П. Чертежите са хубави, което е характерно за решенията на колегата $S.B.$ Считам, че чертежът е задължителен атрибут на добре решената задача.

[poankare56]

разсмяхте ме ще се постарая занапред да избягвам такива съкращения. Иначе правилен чертеж на геометрична/стереометрична задача е половината от решението, затова се радвам на такива прецизни решения

Скрит текст: покажи

П.П.: няма запетая преди "ако"-"само" е уточнаваща дума. Но все пак сме във форум по математика-тъй че пунктуацията не е важна.