Екстремална задача за тавностранен триъгълник

[poankare56]

Върховете M Q,и Pна ромба MQPN лежат съответно на страните AB, AC и BC на равностранния триъгълник ABC. Да се намери най-малката възможна дължина на страната AB, ако MQ= a и QPN = 60[tex]^\circ[/tex] .

[Добромир Глухаров]

Със Синусова теорема за $\Delta AMQ$ и $\Delta QPC$ при $\angle AQM=\alpha$ получих $AB=AQ+QC=\frac{a.sin(120^\circ-\alpha)}{sin60^\circ}+\frac{a.sin(60^\circ+\alpha)}{sin60^\circ}=\frac{4a}{\sqrt{3}}cos(30^\circ-\alpha);\ \alpha\in[0;60^\circ]$

$min AB=\frac{2a}{\sqrt{3}}$

[Добромир Глухаров]

Поправка: $min\ AB=2a$ при $\alpha=0^\circ$ или $\alpha=60^\circ$

[poankare56]

Да, аз също получих 2а.