Параметрично уравнение-брой корени

[poankare56]

Условие:

[vezni]

Да положим [tex]u=x^2[/tex] и [tex]v=5a-8|x|[/tex]. Уравнението се получава
[tex]u^3+v^3+3u+3v=0 \Leftrightarrow (u+v)\left(u^2-uv+v^2\right)+3(u+v)=0\Leftrightarrow (u+v)\left(u^2-uv+v^2+3\right)=0\Leftrightarrow u+v=0[/tex],
защото вторият множител е положителен: [tex]u^2-uv+v^2+3=\left(u-\frac{v}{2}\right)^2+\frac{3v^2}{4}+3>0[/tex]. Тоест уравнението е еквивалентно на
[tex]x^2-8|x|+5a=0[/tex], което с полагането [tex]y=|x|[/tex] се превръща в [tex]y^2-8y+5a=0[/tex].
За да има точно [tex]2[/tex] корена, квадратното уравнение спрямо [tex]y[/tex] трябва да има точно [tex]1[/tex] положителен корен и [tex]y=0[/tex] не трябва да е решение.
[tex]y=0[/tex] не е решение [tex]\Rightarrow a\ne 0[/tex]. Разглеждаме два случая:
[tex]1.[/tex] Дискриминанта [tex]D=16-5a=0\Rightarrow a=\frac{16}{5}[/tex]. Корените са [tex]y_1=y_2=4>0[/tex]. Значи [tex]a=\frac{16}{5}[/tex] е решение
[tex]2. D>0[/tex]. Единият корен трябва да е положителен, другият - отрицателен [tex]\Rightarrow y_1y_2<0\Rightarrow 5a<0\Rightarrow a<0[/tex].
(Припомням, че условието [tex]y_1y_2<0[/tex] гарантира [tex]D>0[/tex].)
Обобщавайки двата случая: [tex]a\in\left(-\infty;0\right)\cup\left\{\frac{16}{5}\right\}[/tex]