функция-12 кл.

[poankare56]

задача

[Добромир Глухаров]

$f(x)=x\Rightarrow1+\frac{6}{x}=x\Rightarrow x^2-x-6=0$

$f_1(x)=x\Rightarrow f(f(x))=x\Rightarrow f\left(1+\frac{6}{x}\right)=x\Rightarrow1+\frac{6}{1+\frac{6}{x}}=x\Rightarrow1+\frac{6x}{x+6}=x\Rightarrow x^2-x-6=0$

Индукционна хипотеза: $f_n(x)=x\Leftrightarrow x^2-x-6=0$

Нека $f_n(x)=\frac{ax+b}{cx+d}=x\to ax+b=cx^2+dx\to cx^2-(a-d)x-b=0\Rightarrow cx^2-(a-d)x-b=0\Leftrightarrow x^2-x-6=0\Rightarrow\begin{array}{|l}a-d=c\\b=6c\end{array}(1)$

Сега разглеждаме $f_{n+1}(x)=x\Leftrightarrow1+\frac{6}{\frac{ax+b}{cx+d}}=x\Leftrightarrow ax^2-(a+6c-b)x-(b+6d)=0$

Но като използваме $(1)$, т.е. $6c-b=0;\ b+6d=6(c+d)=6(a-d+d)=6a$ това е еквивалентно на $ax^2-ax-6a=0$

Тоест получихме, че от $f_n(x)=x\Leftrightarrow x^2-x-6=0$ следва $f_{n+1}(x)=x\Leftrightarrow x^2-x-6=0$, което е точно индукционната стъпка, която ни трябваше .

Тоест въз основа на Аксиомата на Пълната Математична Индукция можем да твърдим, че $f_n(x)=x\Leftrightarrow x^2-x-6=0\ \forall n\Rightarrow f_{2019}(x)=x\Leftrightarrow x^2-x-6=0$

А корените на $x^2-x-6=0$ са точно $2:\ x_1=-2;\ x_2=3$

[vezni]

А сигурни ли сме, че [tex]-2[/tex] и [tex]3[/tex] са от допустимите стойности на [tex]f_{2019}[/tex]? Все пак за пълно решение ми се струва, че трябва да се провери.

[Добромир Глухаров]

А сигурни ли сме, че [tex]-2[/tex] и [tex]3[/tex] са от допустимите стойности на [tex]f_{2019}[/tex]? Все пак за пълно решение ми се струва, че трябва да се провери.

Правилно . Значи ще имаме $f(-2)=1+\frac{6}{-2}=1-3=-2$ и $f(3)=1+\frac{6}{3}=1+2=3$. Така става ли?