планиметрия,триъгълник,отношения-12 кл.

[poankare56]

зад

[Евва]

[tex]\frac{9\sqrt{2}}{2}[/tex]r ли е отговора ?

[Евва]

Нека AK=a ,KB=3a ,AM=2c ,MC=2c ,[tex]\angle[/tex]BAC=2[tex]\alpha[/tex]
ВС=х=?
Построяваме ОН-височина в [tex]\triangle[/tex]АВО ([tex]\triangle[/tex]АНО-правоъгълен) cos[tex]\alpha[/tex]=[tex]\frac{\frac{a}{2}}{r}[/tex] ;a=2r.cos[tex]\alpha[/tex] (1)
([tex]\triangle[/tex]AOE-правоъгълен) cos[tex]\alpha[/tex]=[tex]\frac{c}{r}[/tex] ;c=r.cos[tex]\alpha[/tex] (2)
([tex]\triangle[/tex]АВЕ-правоъгълен) cos 2[tex]\alpha[/tex]=[tex]\frac{AE}{AB}[/tex]=[tex]\frac{c}{4a}[/tex]=[tex]\frac{r.cos\alpha}{4.2r.cos\alpha}[/tex]=[tex]\frac{1}{8}[/tex] т.е. cos 2[tex]\alpha[/tex]=[tex]\frac{1}{8}[/tex] (3)

[tex]\triangle[/tex]АВС е остроъгълен [tex]\Rightarrow[/tex] cos 2[tex]\alpha[/tex]>0 ; cos[tex]\alpha[/tex]=[tex]\sqrt{\frac{1+cos 2\alpha}{2}}[/tex]=[tex]\sqrt{\frac{\frac{1}{1}+\frac{1}{8}}{2}}[/tex]=[tex]\sqrt{\frac{9}{16}}[/tex]=[tex]\frac{3}{4}[/tex] (4)

( cos T за [tex]\triangle[/tex]ABC ) [tex]x^{2}[/tex]=16[tex]a^{2}[/tex]+16[tex]c^{2}[/tex]-2.4a.4c.cos 2[tex]\alpha[/tex]

[tex]x^{2}[/tex]=16.4[tex]r^{2}[/tex].[tex]cos^{2}[/tex][tex]\alpha[/tex]+16[tex]r^{2}[/tex].[tex]cos^{2}[/tex][tex]\alpha[/tex]-32.2r.cos[tex]\alpha[/tex]r.cos[tex]\alpha[/tex].cos 2[tex]\alpha[/tex]

[tex]x^{2}[/tex]=64[tex]r^{2}[/tex].[tex]cos^{2}[/tex][tex]\alpha[/tex]+16[tex]r^{2}[/tex].[tex]cos^{2}[/tex][tex]\alpha[/tex]-64[tex]r^{2}[/tex][tex]cos^{2}[/tex][tex]\alpha[/tex].cos 2[tex]\alpha[/tex]

[tex]x^{2}[/tex]=80[tex]r^{2}[/tex].[tex]cos^{2}[/tex][tex]\alpha[/tex]-64[tex]r^{2}[/tex].[tex]cos^{2}[/tex][tex]\alpha[/tex].cos 2[tex]\alpha[/tex] [ ползваме (3) ,(4) ]

[tex]x^{2}[/tex]=80[tex]r^{2}[/tex].[tex]\frac{9}{16}[/tex] -64[tex]r^{2}[/tex].[tex]\frac{9}{16}[/tex].[tex]\frac{1}{8}[/tex] ; [tex]x^{2}[/tex]=[tex]\frac{81}{2}[/tex][tex]r^{2}[/tex]

x=[tex]\frac{9\sqrt{2}}{2}[/tex]r