Правоъгълник и окръжност

[KOPMOPAH]

Даден е правоъгълник $ABCD$, $AB=8$, $BC=6$, $P \in AC$, $Q \in AC$, $AP=QC=2$.
Окръжност, минаваща през $P$ и $Q$ се допира до $AD$ в т.$R$.

Да се намери радиусът на окръжността.

Скрит текст: покажи

Правоъгълник и окръжност.png (11.92 KiB) Прегледано 448 пъти

[S.B.]

Без заглавие (74).png (244.67 KiB) Прегледано 417 пъти

Даден е правоъгълник $ABCD$, $AB=8$, $BC=6$, $P \in AC$, $Q \in AC$, $AP=QC=2$.
Окръжност, минаваща през $P$ и $Q$ се допира до $AD$ в т.$R$.

Да се намери радиусът на окръжността.

Скрит текст: покажи

Прикачения файл Правоъгълник и окръжност.png вече е недостъпен

[tex]AR[/tex] е допирателна ,$AC$ е секуща $\Rightarrow AR^{2} = AP.AQ \Leftrightarrow AR = \sqrt{2.8} = 4 \Rightarrow AR = 4$
От $\triangle ABC \rightarrow$ по Питагор $ AC = \sqrt{6^{2}} + 8^{2} \Rightarrow AC = 10$
Нека $\angle DAC = \varphi \Rightarrow cos\varphi = \frac{AD}{AC} = \frac{3}{5} , sin\varphi = \frac{4}{5}$
Периферният $\angle ARP = \frac{\widehat{RP}}{2} = \gamma$ ; Централният $\angle ROP = \widehat{RP} = 2\gamma$
За $\triangle ARP$ прилагам Косинусова теорема:
$ RP^{2} = AR^{2} + AP^{2} - 2.AR.AP.cos\varphi \Leftrightarrow RP^{2} = 16 + 4 - \frac{48}{5} \Rightarrow RP^{2} = \frac{52}{5}$
За $\triangle OPR$ прилагам Косинусова теорема:
$PR^{2} = OP^{2} + OR^{2} - 2.OP.OR.cos2\gamma \Leftrightarrow \frac{52}{5} = 2r^{2}(1 - cos2\gamma) \Leftrightarrow$
$ \frac{52}{5} = 4r^{2}.sin^{2}\gamma$ (A)
За $\triangle APR $ прилагам Синусова теорема :
$\displaystyle\frac{AP}{sin\gamma} = \displaystyle\frac{PR}{sin\varphi} \Leftrightarrow sin\gamma = \displaystyle\frac{AP.sin\varphi}{PR} \Rightarrow sin^{2}\gamma = \displaystyle\frac{AP^{2}.sin^{2}\varphi}{PR^{2}} \Rightarrow sin^{2}\gamma = \displaystyle\frac{\displaystyle\frac{4.16}{25}}{\displaystyle\frac{52}{5}} = \frac{16}{65}$
Замествам в (A): $\frac{52}{5} = 4r^{2}sin^{2}\gamma \Leftrightarrow \frac{52}{5} = 4r^{2}.\frac{16}{65} \Rightarrow r^{2} = \frac{13^{2}}{4^{2}} \Rightarrow$ $$r = \frac{13}{4} = 3,25$$