Обем на пирамида

[S.B.]

За основа на пирамидата [tex]MABC[/tex] служи правоъгълния триъгълник $ABC$ с катети $BC = a,AC = b $,
като $ a < b$. Околните стени през тях сключват с равнината на основата равни ъгли с големина $\alpha$.Да се намери обема на пирамидата ако $AM = BM$

[KOPMOPAH]

Обем на пирамида.png (12.69 KiB) Прегледано 440 пъти

Да допуснем, че височината на пирамидата е $h$. Проекцията на върха $M$ е т.$H$, лежаща извън очертанията на основата . Отсечките $HF$ и $HG$ са проекции съответно на височините $MF$ и $MG$ на стените $ACM$ и $BCM$.

След като равнините на стените$ACM$ и $BCM$ сключват равни ъгли $\alpha$ с равнината на основата, значи $HF=HG=h.\operatorname{cotg} \alpha$ и т.$H$ лежи на ъглополовящата на правия ъгъл $ACB$, $HC=\sqrt 2h. \cotg \alpha$.

Като вземем предвид, че $HA=HB$ и приложим два пъти косинусова теорема, съответно за триъгълниците $\triangle ACH$ и $\triangle BCH$: $$AC^2+HC^2-2AC.HC.\cos 45^\circ=HA^2$$ $$BC^2+HC^2-2BC.HC.\cos 45^\circ=HB^2$$ $$b^2+HC^2-2b.\sqrt 2 h.\cotg \alpha \frac {\sqrt 2}2 = a^2+HC^2-2a.\sqrt 2 h.\cotg \alpha \frac {\sqrt 2}2$$ $$b^2+\cancel{HC^2}-2b.\cancel{\sqrt 2} h.\cotg \alpha \frac {\cancel{\sqrt 2}}{\cancel{2}} = a^2+\cancel{HC^2}-2a.\cancel{\sqrt 2} h.\cotg \alpha \frac {\cancel{\sqrt 2}}{\cancel{2}}$$ $$b^2-a^2=2h \cotg \alpha(b-a)\Rightarrow h=\frac{a+b}{2 \cotg \alpha}$$
$$V_{ABCM}=\frac 13\frac {ab}2.\frac{a+b}{2 \cotg \alpha}=\frac1{12}\frac{ab(a+b)}{ \cotg \alpha}$$.

Скрит текст: покажи

Не намерих къде да използвам факта, че a<b , макар че най-съвестно начертах триъгълника именно така

[S.B.]

Без заглавие (83).png (307.42 KiB) Прегледано 415 пъти

Без заглавие (76).png (335.84 KiB) Прегледано 415 пъти

Не намерих къде да използвам факта, че a<b , макар че най-съвестно начертах триъгълника именно така

Още един поглед върху задачата

От условието [tex]AM = BM \Rightarrow[/tex], че височината $HM$ лежи в симетралната равнина на отсечката $AB$ и върхът $M$ се проектира в т.$H$ която лежи на пресечницата на тази равнина с равнината на основата - правата $s_{AB }$,която е и симетрала на $AB$
От условието,че равнините $(ACM) $ и $(BCM)$ слючват с равнината на основата равни ъгли $\Rightarrow$ ,че ръбът $CM$ се проектира върху ъглополовящата $l_{c }$ на правия ъгъл на основата и т.$H \in l_{c }$
От $\begin{cases} H\in s_{AB }\\ H\in l_{c } \end{cases} \Rightarrow l_{c }\cap s_{AB } = H \Rightarrow H\in k$ , където $k$ е описаната около $\triangle ABC$ окръжност
Построявам $HM_{1 } \bot AC, HM_{2 } \bot BC$
$\triangle HM_{1 }A \cong \triangle HM_{2 }B$ (по катет и хипотенуза):
$HM_{1 } = HM_{2 }$ защото $H\in l_{c }$ , $HA = HB$ защото $H\in S_{AB }$ , $ \Rightarrow AM_{1 } = BM_{2 } = x$
Лесно се доказва,че $M_{1 }HM_{2 }C$ е квадрат;
Тогава от $CM_{1 } = CM_{2 } \rightarrow AC - AM_{1 } = BC + BM_{1 } \Leftrightarrow b - x = a + x \Leftrightarrow b - a = 2x \Rightarrow x = \frac{b - a}{2} > 0 $ , защото b > a
Тогава $HM_{1 } = HM_{2 } = b - x = b - \frac{b - a}{2 } = \frac{2b - b + a}{2} = \frac{a + b}{2}$
$HM = \frac{a + b}{2}tg\alpha$ и $ V = \frac{ab(a + b)}{12}tg\alpha$
Същият отговор е получил и колегата KOPMOPAH на когото благодаря за вниманието!

Скрит текст: покажи

Прилагам чертеж на общия вид на пирамидата,както и на решението на основата