Теореми на Менелай и Чева

[Меди]

В триъгълника $ABC$ е вписана окръжност и прави, успоредни на страните $BC,CA,AB$ на триъгълника, се допират до тази окръжност съответно в точките $A_1,B_1,C_1$. Докажете, че правите $AA_1,BB_1,CC_1$ се пресичат в една точка.

Теореми на Менелай и Чева.png (37.86 KiB) Прегледано 1057 пъти

Нека $A_2,B_2,C_2$ са пресечните точки на $AA_1,BB_1,CC_1$ съответно с $BC,AC,AB$. Правите $AA_2,BB_2$ и $CC_2$ се пресичат в една точка тогава и само тогава, когато $\dfrac{AC_2}{C_2B}\cdot\dfrac{BA_2}{A_2C}\cdot\dfrac{CB_2}{B_2A}=1$ (теорема на Чева). Изследвах чертежа и установих, че $AC_2=A_2C, BA_2=B_2A, CB_2=C_2B$. Остава и да го докажа. Нека разгледаме отсечката $AC_2=AM+MC_2$. Известно е, че $AM=p-a$, но не мога да съобразя как да получа отсечката $MC_2$ по начин, който мога да използвам. Благодаря ви предварително! Ще се радвам, ако някой сподели и друг възможен подход към задачата (не твърдя, че моята идея е приложима (може да се завърши) - просто написах това, което забелязах и се сетих по задачата).

[vezni]

Работя по твоя чертеж. Нека правата, успоредна на [tex]AB[/tex], допираща се до окръжността, пресича страните [tex]AC[/tex] и [tex]BC[/tex] съответно в точки [tex]S[/tex] и [tex]Q[/tex]. [tex]\triangle CSQ\sim \triangle CAB[/tex] с коефициент на подобие [tex]k[/tex]. Тогава [tex]CS=kCA=kb[/tex] и [tex]p_{\triangle CSQ}=kp_{\triangle ABC}=kp[/tex]. Окръжността се явява външновписана за [tex]\triangle CSQ[/tex]. Следователно [tex]SC_1=p_{\triangle CSQ}-CS=k(p-b)[/tex]. От теоремата на Талес: [tex]\frac{CS}{CA}=\frac{SC_1}{AC_2}[/tex]. Оттук следва, че [tex]AC_2=p-b[/tex]. Останалите се намират по същия начин. На практика са получава, че [tex]A_2,B_2,C_2[/tex] са допирни точки на външновписаните окръжности (за [tex]\triangle ABC[/tex]) със страните на [tex]\triangle ABC[/tex]

[Illuzion]

Ако разгледате хомотетия с център А, изпращаща вписаната окръжност във външновписаната срещу върха А, ще видите, че точката А1 отива в допирната точка на външновписаната окръжност със страната ВС. Така имате, че ВА2=р-с, СА2=p-b. С аналогични разсъждения ще получите дължините и на отсечките АB2, CB2, AC2, BC2 и ще сте готови от теоремата на Чева. Търсената пресечна точка се нарича точка на Нагел за триъгълника АВС.