Ъгъл между две съседни околни стени

[S.B.]

Линейният ъгъл принадлежащ на двустенния , определен от две съседни околни стени на правилна четириъгълна пирамида е [tex]\varphi[/tex].Да се определи височината на пирамидата , ако основният ръб е $a$.

[Nathi123]

ABCDV-правилна четириъг. пирамида с връх V.[tex]\Rightarrow ABCD[/tex] квадрат със страна а; [tex]AC\cap BD=O ; BH\bot CV ; \triangle BCH\cong \triangle DCH[/tex] [tex]\Rightarrow DH \bot CV \Rightarrow \angle DHB=\varphi ; DH=CH;\angle DHO=\angle OHB= \frac{\varphi}{2}[/tex]. Означаваме [tex]\angle OCH=\alpha[/tex]
Лесно се доказва,че [tex]sin\alpha =cotg\frac{\varphi}{2} ; \triangle VOC\Rightarrow \frac{VO}{OC}=tg\alpha ; OC=\frac{a\sqrt{2}}{2}\Rightarrow VO=\frac{a\sqrt{2}}{2}.tg\alpha[/tex].С тригонометрични преобразувания получаваме ,че [tex]tg\alpha = \frac{cos\frac{\varphi}{2}}{sin^{2}\frac{\varphi}{2}\sqrt{-cos\varphi}}\Rightarrow cos\varphi<0\Leftrightarrow \varphi >90^\circ[/tex].Това ,че [tex]\varphi >90^\circ[/tex] се доказва например от кос. т-ма за [tex]\triangle BDH\Rightarrow cos\varphi =\frac{2DH^{2}-2BD^{2}}{2DH^{2}};\triangle DCH\Rightarrow \angle DHC=90^\circ\Rightarrow DC=a>DH\Rightarrow cos\varphi <0\Leftrightarrow \varphi >90^\circ[/tex].

[KOPMOPAH]

Прилича ми на задача на проф. К. Николов, така ли е? И има ли други?

[S.B.]

....Да се определи височината на пирамидата , ако основният ръб е $a$.

Nathi123 свърши "черната работа" , но всъщност се търси височината на пирамидата и с молба за разрешение от Nathi123, ще напиша и окончателният отговор:
[tex]VO = \frac{a\sqrt{2}}{2}tg\alpha \Rightarrow[/tex] $$ VO = \frac{a\sqrt{2}}{2}.\displaystyle\frac{cos\displaystyle\frac{\varphi}{2}}{sin^{2}\displaystyle\frac{\varphi}{2}\sqrt{- cos\varphi}}$$

[Nathi123]

Задачата може да се види на стр.23. зад.28.42. от сборника зад. по геометрия 7 - 12 клас част 2-ра с автори К Коларов Хр. Лесов изд.
,, Интеграл" 2013 год.В посочената задача се търси и околният ръб на пирамидата.

[S.B.]

Прилича ми на задача на проф. К. Николов, така ли е? И има ли други?

Колега KOPMOPAH,Вие удивително добре сте запознати със съдържанието на лекциите от кандидат студентските курсове в Икономическия институт в София които някога се водеха от проф.К.Николов!Може би сте се подготвяли там за кандидат студентските изпити?Напълно е възможно!
Има още доста задачи,но не мога да разчета условията на всички.Тези лекции са ми подарък от една моя ученичка,с която тогава заедно решавахме задачите които не беше разбрала.Но това беше отдавна!Представете си кога е било,след като тя е щастливо омъжена в Далас, има две деца - по-голямото на 7 години, а преди това завърши висшето си образование!

[Nathi123]

И още една забележка ,при пресмятането на [tex]tg\alpha[/tex] съм допуснала грешка: [tex]sin\alpha = cotg\frac{\varphi}{2}\Rightarrow cos\alpha =\frac{\sqrt{-cos\varphi}}{sin\frac{\varphi}{2}}\Rightarrow tg\alpha =\frac{sin\alpha}{cos\alpha}[/tex]
[tex]tg\alpha=\frac{cos\frac{\varphi}{2}sin\frac{\varphi}{2}}{sin\frac{\varphi}{2}\sqrt{-cos\varphi}}=\frac{cos\frac{\varphi}{2}}{\sqrt{-cos\varphi}}\Rightarrow VO=\frac{a\sqrt{2}cos\frac{\varphi}{2}}{2\sqrt{-cos\varphi}}[/tex].
За околният ръб VC получаваме от [tex]\triangle VOC[/tex] ,че [tex]\frac{OC}{VC}=cos\alpha = \frac{\sqrt{-cos\varphi}}{sin\frac{\varphi}{2}}\Rightarrow CV=\frac{a\sqrt{2}sin\frac{\varphi}{2}}{2\sqrt{-cos\varphi}}[/tex]. В цитирания сборник са събрани и подредени по степен на трудност доста интересни задачи,но за съжаление сега в училищните програми по математика, стереометрията се разглежда за много малко време и часове и от там много повърхностно,дори в математическите гимназии.

[KOPMOPAH]

...но за съжаление сега в училищните програми по математика, стереометрията се разглежда за много малко време и часове и от там много повърхностно,дори в математическите гимназии.

Стереометрията става едно изкуство, достъпно само за посветени. Щом е отпаднало от материала и за математическите гимназии, нещата не отиват на добре...

[vezni]

Nathi123 свърши "черната работа" , но всъщност се търси височината на пирамидата и с молба за разрешение от Nathi123, ще напиша и окончателният отговор:
[tex]VO = \frac{a\sqrt{2}}{2}tg\alpha \Rightarrow[/tex] $$ VO = \frac{a\sqrt{2}}{2}.\displaystyle\frac{cos\displaystyle\frac{\varphi}{2}}{sin^{2}\displaystyle\frac{\varphi}{2}\sqrt{- cos\varphi}}$$

Не се ли получава

[tex]OV=\frac{\sqrt 2a}{2}\frac{\cotg\frac\varphi 2}{\sqrt{1-\cotg^2\frac \varphi 2}}=\frac{\sqrt 2a}{2}\frac{\cos\frac\varphi 2}{\sqrt{-\cos\varphi}}[/tex]