Височини и радиус на вписана окръжност

[KOPMOPAH]

Да се докаже, че за всеки триъгълник е в сила неравенството:$$h_{a}+h_{b}+h_{c} \geqslant 9r,$$където $h_{a}$, $h_{b}$ и $h_{c}$ са височините, а $r$ е радиусът на вписаната окръжност.

[Меди]

Равенството се достига, когато триъгълникът е равностранен. Известно е, че лицето на триъгълник, описан около окръжност, е равно на $pr$, където $p=\dfrac{a+b+c}{2}$, или на $\dfrac{ah_a}{2}$. Следователно $pr=\dfrac{ah_a}{2}$, откъдето $h_a=\dfrac{2pr}{a}=2r\dfrac{a+b+c}{2a}=r\big(1+\dfrac{b}{a}+\dfrac{c}{a}\big)$. Аналогично $$h_b=r\big(1+\dfrac{a}{b}+\dfrac{c}{b}\big)$$ и $$h_c=r\big(1+\dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{c}\big).$$ Събирайки почленно последните три равенства, ще получим $$h_a+h_b+h_c=r\big[3+\big(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\big)+\big(\dfrac{a}{c}+\dfrac{c}{a}\big)+\big(\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{b}\big)\big] \ge 9r.$$ Знаем, че сумата на всеки две положителни реципрочни числа е по-голяма или равна на $2$, т.е. $\dfrac{m}{n}+\dfrac{n}{m} \ge 2$.

[KOPMOPAH]

И още един вариант на решение:
От формулите за лице $$S=pr=\frac 12ah_a=\frac 12bh_b=\frac 12ch_c$$
получаваме след преработка:
$$\frac{ 1 }{ r }=\frac{ 1 }{ h_{a} }+\frac{ 1 }{ h_{b} } +\frac{ 1 }{ h_{c} }$$
Прилагайки неравенството на Коши получаваме:$$\left[\!\begin{aligned}& h_{a}+h_{b}+h_{c} \geqslant 3\sqrt[3]{h_{a}h_{b}h_{c} } \\ & h_{a}h_{b}+h_{b}h_{c}+h_{c}h_{a} \geqslant 3\sqrt[3]{(h_{a}h_{b}h_{c})^{2} } \end{aligned}\right.$$Откъдето след умножаване на левите и десни части на неравенствата:$$(h_{a}+h_{b}+h_{c})(h_{a}h_{b}+h_{b}h_{c}+h_{c}h_{a}) \geqslant 9h_{a}h_{b}h_{c}$$и след преработка $$h_{a}+h_{b}+h_{c} \geqslant 9\frac{ h_{a}h_{b}h_{c} }{ h_{a}h_{b}+h_{b}h_{c}+h_{c}h_{a} } = 9\frac{ 1 }{\displaystyle \frac{ 1 }{ h_{a} }+\frac{ 1 }{ h_{b} } +\frac{ 1 }{ h_{c} } } =9r. $$