Вписана окръжност

[KOPMOPAH]

В триъгълника $\triangle ABC$ вписаната окръжност се допира до страните $AB$, $BC$ и $CA$ съответно в точките $C_1$, $A_1$ и $B_1$. Да се докаже, че $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ се пресичат в една точка.

[Меди]

Нека $BC=a,AC=b$ и $AB=c$ са дължините на страните на триъгълника $ABC$, а $p$ е неговият полупериметър. Известно е, че $AC_1=AB_1=p-a, BC_1=BA_1=p-b, CB_1=CA_1=p-c$. Тогава $\dfrac{AC_1}{C_1B}\cdot\dfrac{BA_1}{A_1C}\cdot\dfrac{CB_1}{B_1A}=\dfrac{p-a}{p-b}\cdot\dfrac{p-b}{p-c}\cdot\dfrac{p-c}{p-a}=1$ и съгласно теоремата на Чева трите отсечки се пресичат в една точка, която се нарича точка на Жергон.

[KOPMOPAH]

Бравo.gif (6.89 KiB) Прегледано 460 пъти