Змс 2007

[inflames678]

Задачата е 9.4 от 2007 година на зимните.
(x^2 +y)(y^2+x)=p^5 като x,y естествени и p просто.

[martin123456]

ще ти покажа как става за случая, който вчера беше написала. другите сигурно са аналогични.
[tex]p \ne 2[/tex]
[tex]x^2+y=p^3[/tex]
[tex]x+y^2=p^2[/tex]
нека освен това считаме че x и y не се делят на p. (ако някое се дели, то и другото се дели и се получава по-лесна система, която сега виждам няма решение заради 2рото уравнение)
вадим [tex](x-y)(x+y-1)=p^2(p-1)[/tex]
от 1вото [tex]x \not \equiv y (mod 2)[/tex] => [tex]x-y[/tex] е нечетно, а [tex]x+y-1[/tex] е четно.
нека [tex]p-1=2^kt[/tex], [tex](t,2)=1[/tex], [tex](t,p)=1[/tex] [tex]k \geq 1[/tex]
=>[tex](x-y)(x+y-1)=p^22^kt[/tex]
=>[tex]x-y=p^av[/tex], [tex]v|t[/tex]=>[tex]x+y-1=p^{2-a}2^ks[/tex], [tex]vs=t[/tex], [tex]a \in \{0,1,2\}[/tex]
заместваме [tex]x=p^av+t[/tex] във второто у-ние на с-мата: [tex]y(y+1)=p^a(p^{2-a}-v)[/tex]
1) [tex]a=2[/tex]. [tex]y(y+1)=p^2(1-v)[/tex]: [tex]v<t<p[/tex]=>ако [tex]v \equiv 1 (mod p)[/tex], то [tex]v=1[/tex]. [tex](y,y+1)=1[/tex]=>или [tex]y=p^2a_1[/tex], [tex]y+1=(1-v)b_1[/tex] или обратното. в първия случай от 1во у-ние на системата => [tex]p|x[/tex], противоречие. значи [tex]y+1=p^2a_2[/tex], [tex]y=(1-v)b_2[/tex]=>замествайки вът второто [tex]x \equiv -1(mod p)[/tex]=>[tex]x \geq p-1[/tex],[tex]y \geq p^2-1[/tex], което като заместим в 2рото [tex]p-1+(p^2-1) \leq p^2[/tex], за което лесно ще се направят изводи
2)3) сигурно аналогично

[inflames678]

Благодаря за бързото решението.

п.п. Другите случеи се получават невъзможни.

[martin123456]

то не е точно решение, по - скоро непълно решение, понеже не разглежда докрай всички случаи...които се получават

[inflames678]

Ето и тези случеи
x^2 +y =p^4
Y^2 + x=p
имаме от второто като повдигнем на квадрат се получава
x^2 + (2y^2x + y^4)=p^2
но нещото в скобите е по голямо от y тоест p^2 >= p^4 .
И съответно ако множителите са съответно p^5 и 1 то пак няма решение.

[martin123456]

дам