Неравенство

[Тончоо]

мат9.png (32.83 KiB) Прегледано 451 пъти

подготовка за изпити оттам е задачата но не я получавам

[Добромир Глухаров]

За нулите на числителя и знаменателя получавам $\frac{5\pm\sqrt{15}}{2}$ и $\frac{-3\pm\sqrt{17}}{2}$. Остава да бъдат подредени върху числовата ос.

Най-отляво ще бъде $\frac{-3-\sqrt{17}}{2}<0$, а най-отдясно $\frac{5+\sqrt{15}}{2}>1$. Корените $\frac{-3+\sqrt{17}}{2}$ и $\frac{5-\sqrt{15}}{2}$ са между 0 и 1, но на пръв поглед е трудно да се каже кой е по-голям.

Трябва да сравним $\sqrt{17}-3$ и $5-\sqrt{15}$, или $\sqrt{17}$ и $8-\sqrt{15}$. Повдигаме на квадрат и получаваме $17$ и $64+15-16\sqrt{15}$, или имаме да сравним $0$ и $62-16\sqrt{15}$. Но $62>16\sqrt{15}$, защото $31>8\sqrt{15}$, защото $31^2>64.15$, защото $961>960$. Следователно $\sqrt{17}-3<5-\sqrt{15}$

И така, отговорът е $x\in\left(-\infty;\frac{-3-\sqrt{17}}{2}\right)\cup\left[\frac{\sqrt{17}-3}{2};\frac{5-\sqrt{15}}{2}\right)\cup\left[\frac{5+\sqrt{15}}{2};+\infty\right)$

[Добромир Глухаров]

Извинявам се - отговорът всъщност е $x\in\left(-\infty;\frac{-3-\sqrt{17}}{2}\right)\cup\left(\frac{\sqrt{17}-3}{2};\frac{5-\sqrt{15}}{2}\right]\cup\left[\frac{5+\sqrt{15}}{2};+\infty\right)$

Просто на хартия първо бях подредил съмнителните корени в обратен ред и като преписвах, не размених скобите заедно със стойностите на нулите.