Равнобедрен триъгълник и точка в него

[KOPMOPAH]

Даден е равнобедрен триъгълник $\triangle ABC,~ AC=BC$ с ъгъл $\measuredangle ACB=80^\circ$. В него е избрана точка $D$ така, че $\measuredangle BAD=30^\circ$, $\measuredangle ABD=10^\circ$.

Да се намери $\measuredangle BDC$.

Скрит текст: покажи

Равнобедрен триъгълник с ъгъл 80.png (13.34 KiB) Прегледано 498 пъти

[Anubis]

Без ограничение нека да приемем, че бедрото на триъгълника има дължина 1. След кратки пресмятания намираме

[tex]\measuredangle ACD = x-60[/tex], [tex]\measuredangle ADC = 220-x[/tex] и [tex]\measuredangle BCD = 140-x[/tex]. Оттук установяваме, че [tex]60 < x < 140[/tex].

[tex]\Delta BDC: \, \, \, \frac{1}{\sin x} = \frac{CD}{\sin 40} \Rightarrow CD = \frac{\sin 40}{\sin x}[/tex]

[tex]\Delta ADC: \, \, \, \frac{1}{\sin(220-x)} = \frac{CD}{\sin 20} \Rightarrow CD = \frac{\sin 20}{\sin(220-x)}[/tex]

Оттук получававе, че [tex]\frac{\sin 40}{\sin x} = \frac{\sin 20}{\sin(220-x)}[/tex], или, което е същото, [tex]\sin x = 2 \sin (x-40) \cos 20[/tex].

Нека [tex]f(x) = \sin x - 2 \sin \left ( x-\frac{2\pi}{9} \right ) \cos \frac{\pi}{9}[/tex] (мярката на [tex]x[/tex] е в радиани). В интервала [tex]\left ( \frac{\pi}{3}; \, \frac{7\pi}{9} \right )[/tex] тази функция е намаляваща и освен това [tex]f \left ( \frac{\pi}{3} \right ) f \left ( \frac{7\pi}{9} \right ) < 0[/tex]. Следователно уравнението [tex]f(x) = 0[/tex] има единствен корен в този интервал.

Виждаме, че [tex]f \left ( \frac{7\pi}{18} \right ) = 0[/tex]. Тогава [tex]x = \frac{7\pi}{18}[/tex] или, в градуси, [tex]x = 70[/tex].

[KOPMOPAH]

Първоначално мислех да сложа задачата във форума "Състезания за 7, 8 клас", защото се решава с материал за 7 клас.

Равнобедрен триъгълник с ъгъл 80-2.png (19.32 KiB) Прегледано 409 пъти

Започваме с това, че $\measuredangle ABC=\measuredangle BAC=50^\circ\Rightarrow \measuredangle DBC=40^\circ$.
Построяваме равностранния $\triangle ABH$.
Разглеждаме $\triangle BCH$. В него $\measuredangle CHB=30^\circ$, $\measuredangle CBH=60^\circ-10^\circ-40^\circ=10^\circ$.
Триъгълниците $\triangle BCH$ и $\triangle ABD$ са еднакви по втори признак $\Rightarrow BD=BC$.
Триъгълник $\triangle DBC$ се явява равнобедрен с ъгъл между ребрата $40^\circ$, следователно ъглите при основата му са по $70^\circ$.

Отг. $\measuredangle BDC=70^\circ$