Окръжност и квадрат с общ център

[KOPMOPAH]

Окръжност $k$ и квадрат $ABCD$ имат общ център. Докажете, че за произволна точка $M \in k$ е в сила:$$MA^2 .MC^2+MB^2 .MD^2=const$$

[S.B.]

Без заглавие (30).png (281.31 KiB) Прегледано 553 пъти

Окръжност $k$ и квадрат $ABCD$ имат общ център. Докажете, че за произволна точка $M \in k$ е в сила:$$MA^2 .MC^2+MB^2 .MD^2=const$$

1)Случай - квадратът е вписан в окръжността.
Страната на квадрата $а = 1,R =$ [tex]\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex]


За [tex]\triangle AOM[/tex] прилагам Косинусова теорема :
$AM^{2} = AO^{2} + OM^{2} - 2AO.OM.cos\angle AOM \Leftrightarrow AM^{2} = 2(\frac{\sqrt{2}}{2})^{2} - 2 \frac{\sqrt{2}}{2}\frac{\sqrt{2}}{2}cos(90^\circ + \varphi)...$
$ \Rightarrow AM^{2} = 1 - sin\varphi$
За $\triangle MOC$ прилагам Косинусова теорема :
$CM^{2} = \frac{2}{4} + \frac{2}{4} - 2 \frac{\sqrt{2}}{2}\frac{\sqrt{2}}{2}cos(90^\circ - \varphi) ...$
$\Rightarrow CM^{2} = 1 + sin\varphi$
$$AM^{2}.CM^{2} = (1 - sin\varphi)(1 + sin\varphi) = 1 - sin^{2}\varphi = cos^{2}\varphi$$
За $\triangle MOB$ прилагам Косинусова теорема:
$MB^{2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - 2\frac{\sqrt{2}}{2}\frac{\sqrt{2}}{2}.cos(180^\circ - \varphi)...$
$MB^{2} = 1 + cos\varphi$
За $\triangle DOM$ прилагам Косинусова теорема:
$DM^{2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - 2 \frac{\sqrt{2}}{2}\frac{\sqrt{2}}{2}.cos\varphi ...$
$\Rightarrow DM^{2} = 1 - cos\varphi$
$$MB^{2}.DM^{2} = (1 + cos\varphi)(1 - cos\varphi) = 1 - cos^{2}\varphi = sin^{2}\varphi$$

$$AM^{2}.CM^{2} + BM^{2}.DM^{2} = cos^{2}\varphi + sin^{2}\varphi = 1$$

[Евва]

Не трябва ли да се разгледат и случаите ,когато ABCD не е вписан в окръжността ?
За случая ,който реши S.B. аз получавам 4[tex]R^{4}[/tex]

[S.B.]

Без заглавие (67).png (297.42 KiB) Прегледано 523 пъти

2) Случай: [tex]ABCD[/tex] не е вписан в окръжността
$ABCD$ има страна [tex]a = 1,AC\cap BD = O ,k(O, r< \frac{a}{2})[/tex]
Описвам концентрична окръжност $k_{1 }(O , R = \frac{\sqrt{2}}{2})$.Сега върховете на $ABCD$ лежат върху окръжността $k_{1 }$
$\angle DOM = \varphi$
За $\triangle АОМ$ прилагам Косинусова теорема:
$AM^{2} = (\frac{\sqrt{2}}{2})^{2} + r^{2} - 2\frac{\sqrt{2}}{2}.r.cos(90^\circ + \varphi) = \frac{1}{2} + r^{2} + r\sqrt{2}sin\varphi$
За $\triangle OMC$ прилагам Косинусова теорема:
$MC^{2} = (\frac{\sqrt{2}}{2})^{2} + r^{2} - 2\frac{\sqrt{2}}{2}.r.cos(90^\circ - \varphi) = \frac{1}{2} + r^{2} - r\sqrt{2}.sin\varphi$
$AM^{2}.MC^{2} = (\frac{1}{2} + r^{2})^{2} - 2r^{2}sin^{2}\varphi$ ( 1 )

За $\triangle OMB$ прилагам Косинусова теорема:
$MB^{2} = (\frac{\sqrt{2}}{2})^{2} + r^{2} - 2.\frac{\sqrt{2}}{2}.r.cos(180^\circ - \varphi) = \frac{1}{2} + r^{2} + r\sqrt{2}cos\varphi$
За $\triangle OMD$ прилагам Косинусова теорема:
$MD^{2} = (\frac{\sqrt{2}}{2})^{2} + r^{2} - 2.\frac{\sqrt{2}}{2}.r.cos\varphi = \frac{1}{2} + r^{2} - r\sqrt{2}.cos\varphi$
$MB^{2}.MD^{2} = (\frac{1}{2} + r^{2})^{2} - 2r^{2}cos^{2}\varphi$ ( 2 )
От ( 1 ) и ( 2 ) се получава:
$MA^{2}.MC^{2} + MB^{2}.MD^{2} = 2(\frac{1}{2} + r^{2})^{2} - 2r^{2}(sin^{2} + cos^{2}) = $
$ = 2[(\frac{1}{2} + r^{2})^{2} - r^{2}] = 2(\frac{1}{2} + r^{2} + r^{2})(\frac{1}{2} + r^{2} - r^{2}) $
$$MA^{2}.MC^{2} + MB^{2}.MD^{2} = \frac{1}{2} + 2r^{2}$$
В случая когато $ABCD$ е вписан и $ r = \frac{\sqrt{2}}{2}$ този сбор е $\frac{1}{2} + 2(\frac{\sqrt{2}}{2})^{2} = 1$ както го доказах в предишния случай.

Скрит текст: покажи

Има още 2 случая - когато окръжността е вписана в квадрата - $r = \frac{a}{2}$ и когато радиуса на окръжността $r > \frac{a\sqrt{2}}{2}$,които се доказват по аналогичен начин

[KOPMOPAH]

Бравo.gif (6.89 KiB) Прегледано 517 пъти

Браво на S.B.!

[Евва]

Когато квадратът е вписан в окр.К ,разсъждавах така:
Да построим височините МЕ и MF съответно в [tex]\triangle[/tex]АМС и [tex]\triangle[/tex]BMD .

([tex]MA.MC)^{2}[/tex] + ([tex]MB.MD)^{2}[/tex] =

=([tex]AC.ME)^{2}[/tex] + ([tex]BD.MF)^{2}[/tex]=

Скрит текст: покажи

Лесно се доказва,че MEOF е правоъгълник [tex]\Rightarrow[/tex] MF=EO

=4[tex]R^{4}[/tex].[tex]ME^{2}[/tex]+4[tex]R^{4}[/tex].[tex]EO^{2}[/tex]=

=4[tex]R^{2}[/tex]([tex]ME^{2}[/tex]+[tex]EO^{2}[/tex])=

4[tex]R^{2}[/tex][tex]MO^{2}[/tex]= 4[tex]R^{2}[/tex][tex]R^{2}[/tex]=

=4[tex]R^{4}[/tex]

Лека корекция за 2 случай- мисля,че отговорът трябва да е [tex]\frac{1}{2}[/tex]+2[tex]r^{4}[/tex]