Правилен шестоъгълник и равни отношения

[ins-]

Върху диагоналите AC и CE на правилния шестоъгълник ABCDEF са взети съответно точки M и N такива, че AM:MC=CN:CE=k. Известно е, че точките B, M и N лежат на една права. Да се намери k.

[KOPMOPAH]

Върху диагоналите AC и CE на правилния шестоъгълник ABCDEF са взети съответно точки M и N такива, че AM:MC=CN:CE=k. Известно е, че точките B, M и N лежат на една права. Да се намери k.

Да не би съотношението да е $AM:MC=CN:{\color{red}\boxed{{\color{black} N }}}E=k$?
Защото $0 \leqslant CN:CE \leqslant 1$, а от друга страна $1 \leqslant AM:MC \leqslant \infty$

[ins-]

Извинявам се за допуснатата грешка! Правилното е: AM:AC=CN:CE=k.

[KOPMOPAH]

Скрит текст: покажи

:D
Аз реших задачата с моята редакция, като получих:$$ AM:MC=CN: NE=\frac {(2-\sqrt 2)(3+\sqrt3)}2$$
В такъв случай търсеното съотношение:$$ AM:AC=\frac{\displaystyle \frac {(2-\sqrt 2)(3+\sqrt3)}2}{\displaystyle \frac {(2-\sqrt 2)(3+\sqrt3)}2+1}=\frac {6+2\sqrt 3-3 \sqrt 2-\sqrt 6}{8+2\sqrt 3-3 \sqrt 2-\sqrt 6}$$

Правилен шестоъгълник и равни отношения.png (16.91 KiB) Прегледано 526 пъти

Без ограничение на общността можем да приемем диагоналите $AC=1$ и $CE=1$.
Тогава $AM=CN=k$.
Страната $a$ на шестоъгълника се намира чрез косинусова теорем за $\triangle ABC$:$$a^2+a^2-2.a.a.\cos 120^\circ \Rightarrow a=\frac {\sqrt 3}3$$
Нататък - друга косинусова теорема за $\triangle ABM$:$$BM^2=k^2+a^2-2.a.k.\cos 30^\circ=\frac{3k^2-3k+1}3$$ $$BM=\sqrt{\frac{3k^2-3k+1}3}$$
Следващата (и последна ) косинусова теорема е за $\triangle CMN$:$$MN^2=(1-k)^2+k^2-2.(1-k)k.\cos 60^\circ=3k^2-3k+13$$ $$MN=\sqrt{3k^2-3k+1}$$
Накрая и една Питагорова теорема за $\triangle BCN$:$$BN^2=BC^2+CN^2$$ $$\left(\sqrt{\frac{3k^2-3k+1}3}+\sqrt{3k^2-3k+1}\right)^2=\frac13+k^2$$ $$\left(\sqrt{3k^2-3k+1}\right)^2.\left(\frac {3+\sqrt 3}3\right)^2=\frac{3k^2+1}3$$
Получава се малко страшничко, но напълно решимо квадратно уравнение.

[ins-]

Скрит текст: покажи

Задачата не е трудна и допуска поне 3 различни решения, но трябва човек да внимава да не обърка сметките. Получих за k от условието [tex]{1}/{\sqrt{3}}[/tex].