Параметрично неравенство

[ins-]

Определете за кои стойности на параметъра [tex]a[/tex] неравенството:
[tex](x^2+2 x + 2)^2 + 4(x^2+2x)+a^2+2a > 0[/tex] се удовлетворява за всяко [tex]x[/tex].

[Knowledge Greedy]

Представяме го така
[tex][(x+1)^2+3]^2+(a+1)^2>13[/tex]
Първото събираемо е най-малко [tex]9[/tex] и тази стойност се достига (при [tex]x=-1[/tex]),
следователно за да е вярно неравенството за всяко [tex]x[/tex], необходимо следва [tex](a+1)^2>4[/tex]
или [tex]a\in (-\infty;-3)\cup (1;+\infty)[/tex]
Следват разсъждения за достатъчност.

[ins-]

Сходна идея, но "облечена" в тригонометрия:
Намерете за кои стойности на реалния параметър [tex]m[/tex], неравенството [tex]tg^2x+cotg^2x-2(tgx+cotgx)+m^2+m>0[/tex] се удовлетворява за всяко [tex]x\ne\frac{k\pi}{2}[/tex]. / [tex]k[/tex] е цяло число /

Скрит текст: покажи

Задачите, които пускам напоследък не са трудни. Разглеждам стари теми от общински кръг на НОМ и от време на време публикувам някои задачи.

[Добромир Глухаров]

$tgx=t$

$tg^2x+cotg^2x=tg^2x+2tgxcotgx+cotg^2x-2=(tgx+cotgx)^2-2$

$u=tgx+cotgx=t+\frac{1}{t}\Rightarrow|u|\geq2\sqrt{t\cdot\frac{1}{t}}=2$

$u^2-2-2u+m^2+m>0\forall|u|\geq2$

$(u-1)^2+m^2+m-3>0$

$u-1\in(-\infty;-3]\cup[1;+\infty)$

$(u-1)^2\geq1$

$v\geq1\Rightarrow v>3-m-m^2$

$3-m-m^2<1$

$m^2+m-2>0$

$m\in(-\infty;-2)\cup(1;+\infty)$