Модулно параметрично квадратно уравнение

[ins-]

1. Дадено е уравнението [tex]x^2-2k|x|-3=0[/tex],
където [tex]k[/tex] е реален параметър.
а) Без да се решава уравнението да се покаже, че не съществува стойност на [tex]k[/tex], при която има повече от два корена и, че за всяко [tex]k[/tex] сумата от корените му е [tex]0[/tex].
б) Да се реши уравнението и да се намерят всички цели стойности на [tex]k[/tex], при които корените му са цели числа.

[Knowledge Greedy]

а) В случая [tex]k=0[/tex] решението се състои от точно два корена [tex]x_{1,2}=\pm \sqrt{3}[/tex]
Нека [tex]k\ne 0[/tex]
Можем да изразим [tex]k = \frac{x^2-3}{2|x|}[/tex]

Графика на дробна функция с наклонени асимптоти.png (13.73 KiB) Прегледано 595 пъти

Явно за всяко [tex]k[/tex], равенството [tex]k=y[/tex] ще е възможно точно за две стойности на аргумента [tex]x[/tex].
Виж графиката по-горе. Коя да е права (с уравнение) [tex]y=k[/tex] пресича графиката на функцията [tex]y=f(x)\frac{x^2-3}{2|x|}[/tex][/tex]
точно в две точки.
Пресечните точки на двете графики са симетрични относно ординатната ос. Това означава (за техните абсциси), че [tex]x_1=-x_2[/tex] - равносилно
на [tex]x_1+x_2=0[/tex]

б) Полагаме [tex]|x|=t[/tex], като [tex]t[/tex] трябва да е положително.
Уравнението [tex]t^2-2kt-3=0[/tex] има само един положителен корен [tex]t=k+\sqrt{k^2+3}[/tex] при [tex]k>0[/tex].
За всяко такова реално [tex]k> 0[/tex] уравнението има точно два различни реални корена [tex]x_1=-k-\sqrt{k^2+3}[/tex] и [tex]x_2=k+\sqrt{k^2+3}[/tex]

Търсене на цели корени за цели стойности на [tex]k[/tex].
Дискриминантата [tex]D=d^2[/tex] е точен квадрат на цяло число [tex]d[/tex] и излиза, че [tex]d^2-k^2=3[/tex]
[tex]\Rightarrow\begin{array}{|l} d+k = 3 \\ d-k = 1 \end{array}[/tex]

Това се случва само при [tex]k=1[/tex] и [tex]k=-1[/tex]
При първото [tex]x_1=-3[/tex] и [tex]x_2=3[/tex], а при второто [tex]x_1=-1[/tex] и [tex]x_2=1[/tex]

[ins-]

За а) - Уравнението е било в тема за 9 клас. Не е споменато в условието. Предполагам, че не са разглеждали функции на необходимото ниво по това време.
Хрумна ми идея как би могло да се докаже желаното твърдение без използване на графичен метод.
При [tex]x\ge0[/tex] уравнението има вида [tex]x^2-2kx-3=0[/tex]. Неговата дискриминанта е положителна - има 2 реални решения. От формулите на Виет произведението им е -3 т.е те са един отрицателен и един положителен, но [tex]x\ge0[/tex] елиминира отрицателния корен. В този случай уравнението има само 1 реално решение.
При [tex]x\lt0[/tex] уравнението има вида [tex]x^2+2kx-3=0[/tex]. Неговата дискриминанта е положителна - има 2 реални решения. От формулите на Виет произведението им е -3 т.е те са един отрицателен и един положителен, но [tex]x\lt0[/tex] елиминира положителния корен. В този случай уравнението има само 1 реално решение.
Така намерихме, че уравнението има точно 2 решения.
[tex]x^2-2k|x|-3=0[/tex] - от това уравнение лесно следва, че ако [tex]t[/tex] e решение на уравнението, то и [tex]-t[/tex] ще е решение. От изложените разсъждения следва, че уравнението има точно 2 корена, чиито сбор е [tex]0[/tex].

[drago]

Виждам, че viewtopic.php?f=40&t=24936&p=101262#p101212 е било полезно. Обаче и по т. б) може да продължим и без дискриминанти.
$$k=\frac{x^2-3}{2|x|}$$
трябва да има решение $(x,k)$ цели числа.
$$k=\frac{|x|}{2}-\frac{3}{2|x|}\quad (1)$$
Но $\frac{3}{2|x|}<1/2$ при $|x|\geq 4$ и значи няма как дясната страна на $(1)$ да е цяла защото $\frac{|x|}{2}$ e или цяло или има дробна част $1/2$. Така че проверяваме $|x|=1,2,3 (|x|\neq 0)$ и намираме съответните решения.

[Sup3rlum]

$x^2-2k|x|-3=0 \Rightarrow |x|^2-2k|x|-3=0$

Нека $f(w)=w^2-2kw-3$ тогава уравнението става, $f(|x|)=0$. Така като имаме модулен аргумент, функцията се отразява спрямо y-оста. (1)

След като $f(0)=-3$ за всяка стойност на $k$, семейството криви имат застопорена точка при $(0,-3)$. Тази точка се пада на y-оста и е под х-оста, следователно $f(x)$ има винаги един положителен и един отрицателен корен (2)

От (1) и (2) следва вярно твърдението от условие а)

От (1) знаем че $f(|x|)=0$ има само положителният корен на $f(x)=0$, който е отразен, следователно търсим за цяло число:

$\frac{D}{4}=k^2+3=p^2$
$(p-k)(p+k)=3$ където двата члена са 1 и 3, и след решаване на системата, се получава $k=-1,1$