Лесна система

[ins-]

Да се реши (в реални числа) системата:
[tex]x+y-z=-1[/tex]
[tex]x^2-y^2+z^2=1[/tex]
[tex]-x^3+y^3+z^3=-1[/tex]

[Davids]

Системата е еквивалентна на:
[tex]\begin{array}{|l} x - z = -1 - y \\ x^2 + z^2 = 1 + y^2 \\ x^3 - z^3 = 1 + y^3 \end{array}[/tex]

Повдигаме първото на квадрат, получаваме:
$x^2 -2xz + z^2 = y^2 + 2y + 1$

Заместваме второто в него:
$1 + y^2 - 2xz = y^2 + 2y + 1$
$\Rightarrow xz = -y$

Паралелно с това, третото уравнение е еквивалентно на:
$(x - z)(x^2 + xz + z^2) = (y + 1)(y^2 - y + 1)$

Заместваме от лявата страна съответно първото, второто и новополученото тъждество, с което получаваме:
$-(1 + y)(y^2 - y + 1) = (y + 1)(y^2 - y + 1)$

Втория множител можем директно да съкратим, тъй като е винаги положителен. Това ни дава в резултат $y = -1$.

Вече става лесно като заместим директно в системата:
$\begin{array}{|l} x - z = 0 \\ x^2 + z^2 = 2 \end{array}$

Следва, че $x = z = \pm 1$.

Окончателно наредените тройки реални решения са $(1, -1, 1)$ и $(-1, -1, -1)$.