Малко по-сложна система

[ins-]

Да се реши (в реални числа) системата:
[tex]x+y=\frac{5xy}{1+xy}[/tex]
[tex]y+z=\frac{6yz}{1+yz}[/tex]
[tex]z+x=\frac{7zx}{1+zx}[/tex]

[Davids]

Ясно е, че $(0, 0, 0)$ е решение на системата. Занапред приемаме, че нито една от променливите не е нула.

Понеже уравненията са симетрични, ще разгледам първото с параметър, за да онагледя идеята си:
$x + y = \frac{axy}{1 + xy}$
$\frac{1}{xy}(x + y)(1 + xy) = a$
$(x + y)(1 + \frac{1}{xy}) = a$
$x + \frac{1}{y} + y + \frac{1}{x} = a$
$\Leftrightarrow (x + \frac{1}{x}) + (y + \frac{1}{y}) = a$

С това приключи основната магия на системата. Сега, ако положим $t = x + \frac{1}{x}, u = y + \frac{1}{y}, v = z + \frac{1}{z}$, системата ще заима много по-приятен вид:
[tex]\begin{array}{|l} t +u = 5 \\ u + v = 6 \\ v + t = 7 \end{array}[/tex]

Лесно получаваме $t = 3, u = 2, v = 4$ и остана да решим три квадратни уравнения:

1) $x + \frac{1}{x} = 3 \Leftrightarrow x^2 - 3x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$
2) $y + \frac{1}{y} = 2 \Leftrightarrow y^2 - 2y + 1 = 0 \Leftrightarrow y = 1$
3) $z + \frac{1}{z} = 4 \Leftrightarrow z^2 - 4z + 1 = 0 \Leftrightarrow z = 2 \pm \sqrt{3}$

Това ни дава четири наредени тройки реални решения.