Лесно неравенство с 3 параметъра

[Гост]

Задачата е наистина лесна, но успявам да я направя само с Теоремата на Чебишев. Ще е яко, ако някой я разцъка с неравенството на пренарежданията, като използва пермутации на трите елемента.

[Davids]

Срещал съм задачата в сборника "Неравенства: теореми, техники и избрани задачи" от Здравко Цветковски (лека му пръст), където бях чел за т.нар. rearrangement inequalities. Има я онлайн, макар и малко пиратски.
Ето обобщение на описаното там решение:

Първо ще е нужно да въведем нотацията $T[a_1, a_2, ..., a_n]$ върху редица от неотрицателни числа $x_1, x_2, ..., x_n$, която бележи сбора от произведенията $x_1^{a_1}x_2^{a_2}...x_n^{a_n}$ за всички пермутации на редицата $a_1, ...., a_n$. Тоест, ето няколко примера за онагледяване:
$T[1, 2] = x^2y + xy^2$
$T[1, 2, 1] = 2(x^2yz + y^2xz + z^2yx)$
$T[3, 0, 0] = 2(x^3 + y^3 + z^3)$
Равни степени не се зачитат за едно събираемо, т.е. включваме и повторения в бройката (винаги имаме $n!$ събираеми).

Сега, в нашата задача ще приложим нотацията върху редицата $a, b, c$, така че ще работим с три степенни показателя за три променливи.
Но за начало нека проведем някои нужни преобразувания. Отбелязваме, че:
1) $a^3 + b^3 + c^3 = \frac{1}{2}T[3, 0, 0]$
2) $abc = \frac{1}{6}T[1, 1, 1]$
3) $(a + b + c)^3 = a^3 + b^3 + c^3 + 3(a + b)(b + c)(c + d) = a^3 + b^3 + c^3 + 3\big[a^2(b + c) + b^2(c + a) + c^2(a + b)\big] + 6abc = \frac{1}{2}T[3, 0, 0] + 3T[2, 1, 0] + T[1, 1, 1]$

Така вече можем да преобразуваме инициалното дадено от:
$7(a^3 + b^3 + c^3 + abc) \ge (a + b + c)^3$
в
$7(\frac{1}{2}T[3, 0, 0] + \frac{1}{6}T[1, 1, 1]) \ge \frac{1}{2}T[3, 0, 0] + 3T[2, 1, 0] + T[1, 1, 1]$

Което от своя страна е еквивалентно на:
$3T[3, 0, 0] + \frac{1}{6}T[1, 1, 1] \ge 3T[2, 1, 0]$

Което е вярно, понеже $T[1, 1, 1] = 6abc \ge 0$ и $T[3, 0, 0] \ge T[2, 1, 0]$ (теорема на Мюрхед (engl. Muirhead))

С това приключва оригиналното решение. Използваната теория е много интересна, но може в частния случай да се изведат нужните неща, което всъщност се ограничава до доказването на:
$T[3, 0, 0] \ge T[2, 1, 0]$, т.е.
$2(a^3 + b^3 + c^3) \ge a^2(b + c) + b^2(a + c) + c^2(a + b)$

Ще го оставя на теб, все пак да имаш да се занимаваш Надявам се, успях да хвърля светлина.

[Гост]

Е, супер, много мерси! Определено ще се опитам да вникна в таи идея. Видях и книгата, не е лоша.
Това, което ми остави да докажа: