Двустенни ъгли в тетраедър

[Гост]

Три двустенни ъгъла на тетраедър, които не излизат от един връх, са равни помежду си на 90 градуса. Останалите три двустенни ъгъла също са равни помежду си. Намерете ги.

[S.B.]

Без заглавие - 2020-05-05T215103.700.png (489.83 KiB) Прегледано 805 пъти

Три двустенни ъгъла на тетраедър, които не излизат от един връх, са равни помежду си на 90 градуса. Останалите три двустенни ъгъла също са равни помежду си. Намерете ги.

Според мен пирамидата $DABC$ е правилна с двустенни ъгли между околните стени с големина [tex]90^\circ[/tex] и двустенни ъгли при основата с големина $\alpha$, които търсим.
Нека основният ръб е $a$
Построявам $BP\bot DC$ и $AP \bot DC$ те определят равнината $(ABP) \bot DC$ ,$\triangle APB$ е равнобедрен,правоъгълен и $AK = PK = BK = \frac{a}{2}$
По околния ръб $DC$ и височината в основата на пирамидата $CK$ построявам равнина,която пресича пирамидата в $\triangle KCD$,където:
$\angle KCD = \varphi$ е ъгъл между околния ръб и основата
$\angle DKC = \alpha$ е двустенния ъгъл ,който търсим
$KC = \frac{a\sqrt{3}}{2}$ - височина (медиана) в основата , $DO$ е височината на пирамидата;
$CO : OK = 2:1$ от свойството на медианите
От $\triangle KCP \rightarrow \displaystyle\frac{KP}{KC} = sin\varphi \Leftrightarrow sin\varphi = \displaystyle\frac{\displaystyle\frac{a}{2}}{\displaystyle\frac{a\sqrt{3}}{2}} \Rightarrow sin\varphi = \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{3} , cos\varphi = \displaystyle\frac{\sqrt{6}}{3}, tg\varphi = \displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}$
От $\triangle OCD \rightarrow \frac{DO}{OC} = tg\varphi \Rightarrow DO = OC.tg\varphi \Leftrightarrow DO = \frac{\sqrt{3}}{3}.\frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow OD = \frac{\sqrt{6}}{6}$
От $\triangle KOD \rightarrow \displaystyle \frac{OD}{OK} = tg\alpha \Leftrightarrow tg\alpha = \displaystyle\frac{\displaystyle\frac{\sqrt{6}}{6}}{\displaystyle\frac{a\sqrt{3}}{6}} \Rightarrow tg\alpha = \frac{\sqrt{2}}{a}$

[S.B.]

От $\triangle OCD \rightarrow \frac{DO}{OC} = tg\varphi \Rightarrow DO = OC.tg\varphi \Leftrightarrow DO = \frac{\sqrt{3}}{3}.\frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow OD = \frac{\sqrt{6}}{6}$
От $\triangle KOD \rightarrow \displaystyle \frac{OD}{OK} = tg\alpha \Leftrightarrow tg\alpha = \displaystyle\frac{\displaystyle\frac{\sqrt{6}}{6}}{\displaystyle\frac{a\sqrt{3}}{6}} \Rightarrow tg\alpha = \frac{\sqrt{2}}{a}$

Да се чете:

От [tex]\triangle OCD\rightarrow \displaystyle\frac{OD}{OC} = tg\varphi \Leftrightarrow OD = OC.tg\varphi \Rightarrow OD = a\frac{\sqrt{3}}{3}.\frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow OD = \frac{a\sqrt{6}}{6}[/tex]
От $\triangle KOD\rightarrow\displaystyle \frac{OD}{OK} = tg\alpha \Leftrightarrow \displaystyle\frac{\displaystyle\frac{a\sqrt{6}}{6}}{\displaystyle\frac{a\sqrt{3}}{6}} = \sqrt{2}$
$$tg\alpha = \sqrt{2}\approx 1,4142\Rightarrow \alpha\approx 54^\circ 40'$$

Искрено съжалявам!

[drago]

Според мен пирамидата $DABC$ е правилна с двустенни ъгли между околните стени с големина [tex]90^\circ[/tex] и двустенни ъгли при основата с големина $\alpha$, които търсим.

Няма как конфигурацията да е такава, защото е казано, че равните двустенни не излизат от един и същ връх. Ако вземем произволни две раввини, които се пресичат под ъгъл разл. от $90^{\circ}$ и ги пресечем с равнина перпендикулярна и на двете ше получим единия връх на тетраедъра и стените към него. После трябва да пресечем тези три равнини с четвърта, която е перпендикулярна на една от първите две. Ето това ще е тетраедър, на който три двустенни ъгли, неизлизащи от един и същ връх, са перпендикулярни. Трябва да съобразим кога останалите три двуст. ъгли са равни и да намерим този ъгъл.

[Гост]

Най-горната хипотеза, двутенните ъгли при основата да са търсените, противоречи на условието, защото и трите излизат от върха на тетраедъра

[Гост]

Окей, стигнах дотук, ама сега нека някой бъде така добър да открие грешката (: