Да се докаже, че числото не е цяло

[vezni]

Нека [tex]n>1[/tex] е естествено число. Да се докаже, че числото
[tex]1+\frac 12+\frac 13+\cdots+\frac 1n[/tex] не е цяло.

[pal702004]

Там има точно едно такова $\dfrac{1}{2^k}$ с максимално $k$, което кара (при превеждане под общ знаменател) числителя винаги да е нечетен, а знаменателя - четен.

Също така може да се използва и най-голямото просто $p\le n$, но там трябва да се ползва постулата на Бертран и т.н усложнения

[peyo]

Нека [tex]n>1[/tex] е естествено число. Да се докаже, че числото
[tex]1+\frac 12+\frac 13+\cdots+\frac 1n[/tex] не е цяло.

Докато се чудех, ми хрумна следната задача:

Намерете формула която дава тези $n$ които прехвърлят поредното цяло число. Тези числа ще бележим с $p$

С малка програмка можем да намерим $p$ за първите 20-на числа:

Код: Избери целия код

    import math
    x, n, last_x, last_n = 0,0,0,1
    while True:
        n+=1
        x+= 1/n
        if int(x)> last_x:
            print x,n,n/last_n, n/last_n - math.e
            last_x = int(x)
            last_n = n

Намерих следните стойности:

Код: Избери целия код

val   p   p/p_prev    p/p_prev-e
1.0 1 1.0 -1.71828182846
2.08333333333 4 4.0 1.28171817154
3.01987734488 11 2.75 0.031718171541
4.02724519544 31 2.81818181818 0.0998999897228
5.00206827268 83 2.67741935484 -0.0408624736203
6.00436670835 227 2.73493975904 0.0166579305771
7.00127409713 616 2.71365638767 -0.00462544079385
8.000485572 1674 2.71753246753 -0.000749360926577
9.00020806293 4550 2.71804062127 -0.000241207192617
10.0000430083 12367 2.71802197802 -0.000259850437067
11.0000177086 33617 2.71828252608 6.97618419032e-07
12.0000030517 91380 2.71826754321 -1.42852517393e-05
13.0000012295 248397 2.71828627708 4.44862565629e-06
14.0000013621 675214 2.71828564757 3.81911318792e-06
15.0000003783 1835421 2.71828042665 -1.40180912389e-06
16.0000000955 4989191 2.71828152778 -3.00678770326e-07
17.0000000148 13562027 2.71828178156 -4.69036787187e-08
18.0000000037 36865412 2.71828186155 3.30945413296e-08
19.0000000097 100210581 2.71828186811 3.96508244016e-08
20.0000000016 272400600 2.71828181497 -1.34878295199e-08
21.0000000004 740461601 2.71828182831 -1.5176526702e-10
22.0000000001 2012783315 2.7182818289 4.45679049221e-10


От резултатите виждаме, че когато $n$ клони към безкрайност:
$p_i \to e*p_{i-1}$

Това дали можем да го докажем?

[vezni]

[tex][/tex]

От резултатите виждаме, че когато $n$ клони към безкрайност:
$p_i \to e*p_{i-1}$

Това дали можем да го докажем?

Интересно наблюдение. Може да се докаже, но задачата е по-скоро от раздел "Анализ". Ако искаш, пусни го като отделна задача.

Преведено на математически език, твърдението звучи по следния начин. Нека [tex]p_n[/tex] е най-малкото естествено число, за което
[tex]\sum_{i=1}^{p_n}\frac 1i\geq n[/tex]. Да се докаже, че [tex]\lim_{n\to\infty}\frac{p_{n+1}}{p_n}=e[/tex].

[pal702004]

Това е свързано с частичните суми на хармоничния ред. От

$H_k=\sum_{j=1}^k \dfrac 1 j\approx \ln(k)+\gamma+\epsilon_k\approx n$, където

$\gamma \approx 0.577215665$ е константа на Ойлер-Маскерони, а при $k\to \infty, \; \epsilon_k \to 0$ имаме

$k\approx e^{n-\gamma}$

В горните обозначения $p_n\approx e^{n-\gamma}$

Откъдето и границата $\lim_{n\to \infty} \dfrac{p_{n+1}}{p_n}=e$