Да се докаже следното неравенсто

[Гост]

Easy peasy lemon squeezy

[Davids]

Разпъваме формулата за бинома и получаваме:
$\frac{(2n)!}{(2n - n)!.n!}\sqrt{3n} = \frac{(2n)!}{(n!) ^2}\sqrt{3n}< 4^n$

Ползваме ПМИ:
I) $n = 1 \Rightarrow 2\sqrt{3} < 4$ е вярно

II) Допускаме, че неравенството важи за $n = k \in \Z$

III) Проверяваме за $n = k +1$:

$\frac{(2k + 2)!}{((k+1)!)^2}\sqrt{3k + 3} < 4.4^k$

$\Leftrightarrow \frac{(2k+2)(2k+1)(2k)!}{(k+1)^2(k!)^2}.\sqrt{3k + 3}.\frac{\sqrt{3k}}{\sqrt{3k}} < 4.4^k$

$\Leftrightarrow \frac{2k + 1}{k+1}.\sqrt{\frac{3k + 3}{3k}}.\boxed{\frac{(2k)!}{(k!)^2}\sqrt{3k}} < 2.\boxed{4^k}$

Оградената част е допуснатото неравенство, така че е в сила. Остава да докажем, че:

$\frac{2k + 1}{k+1}.\sqrt{\frac{3k + 3}{3k}} \le 2$

$\Leftrightarrow (2 - \frac{1}{k+1})\sqrt{1 + \frac{1}{k}} \le 2$

Което май не е много вярно...

Ще го помисля още.

[Illuzion]

Задачата е много трудна, ако човек не се сети да погледне Уикипедия и да забележи, че „правилното“ неравенство за доказване е $\sqrt{3n+1}\cdot{2n\choose n}\leq 4^n$. Проверяваме, че то е вярно при $n=1$. Допускаме, че е вярно за $n$ и ще се опитаме да го докажем за $n+1$. Имаме $$\frac{4^{n+1}}{{2n+2}\choose {n+1}}={\frac{2n+2}{2n+1}}\cdot \frac{4^n}{{2n}\choose n}\geq {\frac{2n+2}{2n+1}}\cdot \sqrt{3n+1}$$ и остава да докажем $\frac{2n+2}{2n+1}\geq \sqrt{\frac{3n+4}{3n+1}}$ $\Leftrightarrow$ $\frac{4n^2+8n+4}{4n^2+4n+1}\geq \frac{3n+4}{3n+1}$ [tex]\Leftrightarrow[/tex] $20n\geq 19n$, което за щастие е вярно.

[Гост]

Грешки някъде?