Кандидатстудентски изпит СУ 2003

[Гост]

Задача

[vezni]

[tex]f'(x)=2x+2+\frac{6x+6}{2\sqrt{3x^2+6x+7}}+\frac{10x+10}{2\sqrt{5x^2+10x+14}}>0[/tex] за [tex]x\geq 0[/tex]
[tex]\Rightarrow f(x)[/tex] е строго растяща в интервала [tex][0,\infty)[/tex].
Да допуснем, че полож. число [tex]x_0[/tex] е решение на неравенството. Тогава числата от интервала [tex][0;x_0][/tex] също
са решения, понеже [tex]f(x)\leq f(x_0)\leq a[/tex] за [tex]x\in [0;x_0][/tex].
Тоест, няма как да има само едно полож. решение за никое [tex]a[/tex].

Струва ми се, че такава задача не е била давана на изпит, но не съм сигурен.

[Гост]

Задача

Tочно едно ЦЯЛО положително число

[Davids]

Задача

Tочно едно ЦЯЛО положително число

С точност до $5.10^{-5}$, нещо като $a \in [12.385164807, 20.916233591)$

[Knowledge Greedy]

Решение по първоначалното условие.

Тъй като при всяко [tex]x[/tex] следва [tex]x^2+2x \ge -1[/tex], възможностите за [tex]y=x^2+2x[/tex] са [tex]y\in [-1;0][/tex] и [tex]y\in (0;+\infty)[/tex]

Разглеждаме неравенството [tex]F(y) \le a[/tex], където [tex]F(y)=y+\sqrt{3y+4}+\sqrt{5y+9}[/tex]
- след горното полагане [tex]y=x^2+2x[/tex].

Ако допуснем, че има [tex]y_o>0[/tex], което удовлетворява [tex]F(y) \le a[/tex], то следва [tex]F \left ( \frac{y_o}{2} \right )\le a[/tex] - т.е. числото [tex]\frac{y_o}{2}[/tex] също се оказва решение.
Доказателството се състои в почленно събиране на трите очевидни неравенства
[tex]\frac{y_o}{2}<y_o[/tex]

[tex]\sqrt{3\frac{y_o}{2}+4}<\sqrt{3y_o+4}[/tex]

[tex]\sqrt{5\frac{y_o}{2}+9}<\sqrt{5y_o+9}[/tex]

Полученият факт доказва, че за [tex]y >0[/tex] е невъзможно да се намери стойност на параметъра [tex]a[/tex] с исканото свойство.

Нека сега [tex]y\in [-1;0][/tex]

В този интервал, поради линейното изменение на подкоренните величини, леко установяваме, че [tex]-1+\sqrt{1}+\sqrt{4}\le f(y) \le 0+2+3[/tex]

т.е. [tex]2 \le F(y) \le 5[/tex]

Затова, очаквайки да намерим единствено решение (за [tex]x[/tex]), е достатъчно да решим неравенството [tex]F(y) \le a[/tex], при [tex]a=2[/tex] - отново поради линейността на подкоренните величини.

Резултатът е: няма такъв параметър [tex]a[/tex], за който неравенството има единствено положително решение.
___________________
Изглежда хубавата идея на задачата е съсипана от липсата на знака "минус" във всеки от линейните едночлени на [tex]x[/tex] във формулата, задаваща [tex]f(x)[/tex].
Съсипана - в смисъл да има някакви [tex]a[/tex].

[Illuzion]

Както беше отбелязано в първото решение, $f$ е строго растяща за $x\geq 0.$ Така трябва да е изпълнено [tex]\begin{array}{|l} f(1)\leq a \\ f(2)>a \end{array}.[/tex] Решавайки тази система, получаваме $7+\sqrt{29}\leq a<8+\sqrt{31}+\sqrt{54}.$