Стереометрия-СУ

[Гост]

Дадена е пирамида с връх М и основа правоъгълник ABCD, AB=4,BC=2 [tex]sqrt{2}[/tex]. Oколните стени DMA, CDM са перпенд. на основата. Околният ръб BM сключва с основата ъгъл alpha,т.ч. sina=5/7. През основен ръб AB и прозволна точка N от DM е построена равнина. ДСН мин и мах на полученото сечение с пирамидата.

[S.B.]

Без заглавие - 2020-05-19T210444.033.png (267.21 KiB) Прегледано 423 пъти

Дадена е пирамида с връх М и основа правоъгълник ABCD, AB=4,BC=2 [tex]sqrt{2}[/tex]. Oколните стени DMA, CDM са перпенд. на основата. Околният ръб BM сключва с основата ъгъл alpha,т.ч. sina=5/7. През основен ръб AB и прозволна точка N от DM е построена равнина. ДСН мин и мах на полученото сечение с пирамидата.

[tex]DB = \sqrt{AB^{2} + AD^{2}} = \sqrt{16 + 8} = 2\sqrt{6}[/tex]
$sin\alpha = \frac{5}{7} \Rightarrow tg\alpha = \frac{5\sqrt{6}}{12}$
От $\triangle DBM \rightarrow \frac{MD}{DB} = tg\alpha \Leftrightarrow MD = 2\sqrt{6} \frac{5\sqrt{6}}{12} \Rightarrow MD = 5$

Построяване на сечението $ABKN$
$т.N \in DM $ построявам права $l :\begin{cases} lzN \\l||CD \end{cases} , l\cap CM = K$
$AB || CD, CD || NK \Rightarrow AB|| NK$
$AD$ е проекция на $AN$ ,$AD \bot AB $ и по т-мата за 3-те перпендикуляра $\Rightarrow AN\bot AB$
Ако приемем,че $BK || AN$ би следвало,че $BK\bot AB$ и понеже $AB\bot BC$ ще излезе,че $AB \bot (BCM)$ и $(BCM) \bot(ABCD)$ и пирамидата няма да съществува. $ \Rightarrow AN$ и $BK$ не са успоредни.
$\Rightarrow ABKN$ е трапец.
Нека $DN = x $
$\triangle DMC \approx \triangle NKC \Rightarrow \frac{DC}{NK} = \frac{DM}{NM} \Leftrightarrow \frac{4}{NK} = \frac{5}{5 - x} \Rightarrow NK = \frac{4(5 - x)}{5}$
От $\triangle AND \rightarrow AN = \sqrt{8 + x^{2}}$ ( по Питагор)
$S_{ABKN } = \frac{AB + NK}{2}.AN $
$S_{ABKN } = S(x) = \frac{2}{5}(10 - x)\sqrt{8 + x^{2}}$ (получава се след преработка)
$S'(x) = - \frac{4(x^{2} -5x + 4)}{5\sqrt{8 + x^{2}}}$
$S'(x) = 0 \Leftrightarrow x^{2} - 5x + 4 = 0 \rightarrow x_{1 } = 1 , x_{2 } = 4 \Rightarrow $ за тези стойности на $x$ функцията $S(x)$ има екстремум
$S''(x) = \frac{4x(x^{2} - 5x + 4)}{5\sqrt{(8 + x^{2})^{3}}} - \frac{4(2x - 5)}{5\sqrt{8 + x^{2}}}$
$S''(1) = \frac{12}{15}> 0 \Rightarrow$ за $ x = 1$ лицето на сечението $ABKN$ приема минимална стойност:
$S_{min } = S(1) = \frac{2}{5}.(10 - 1)\sqrt{8 + 1} = \frac{54}{5}$
$S''(4) = - \frac{12}{10\sqrt{6}} < 0 \Rightarrow$ за $x = 4$ лицето на сечението $ABKN$ приема максимална стойност:
$S_{max } = S(4) = \frac{2}{5}(10 - 4) \sqrt{8 + 16} = \frac{24\sqrt{6}}{5}$