параметрично уравнение

[Гост]

конкурсна задача

[vezni]

Допустими стойности: [tex]x^2\geq 6,y^2\geq 6\Leftrightarrow x,y\in \left(-\infty;-\sqrt 6\right]\cup \left[\sqrt 6;\infty\right)[/tex]
[tex]x=0[/tex] и [tex]y=0[/tex] не са от доп. стойности, делим двете страни на уравнението на [tex]xy\ne 0[/tex]:
[tex]\frac{\sqrt[6]{x^2-6}+|x|}{x}+\frac{\sqrt[6]{y^2-6}+|y|}{y}=a \Leftrightarrow f(x)+f(y)=a[/tex]
Уравнението има решение, когато [tex]a[/tex] принадлежи на множеството от стойности на [tex]f(x)+f(y)[/tex],
тоест задачата се свежда до изследване на [tex]f(x)[/tex]. Понеже функцията е нечетна, достатъчно е да изследваме
за [tex]x>0[/tex] (тоест [tex]x\geq \sqrt{6}[/tex]). Тогава [tex]f(x)=\frac{\sqrt[6]{x^2-6}}{x}+1[/tex].
От производната [tex]f'(x)=\frac{2(9-x^2)}{3x^2\sqrt[6]{(x^2-6)^5}}[/tex] виждаме, че [tex]f[/tex] е строго растяща за
[tex]\left[\sqrt 6; 3\right][/tex] и строго намаляваща за [tex]\left[3;\infty\right)[/tex].
[tex]f(\sqrt 6)=1, f(3)=\frac{\sqrt[6]{3}+3}{3}, \lim_{x\to\infty}f(x)=\lim_{x\to\infty}\frac{x^{\frac 13}\sqrt[6]{1-\frac{6}{x^2}}}{x}+1=\lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt[6]{1-\frac{6}{x^2}}}{x^{\frac 23}}+1=0+1=1[/tex]
[tex]\Rightarrow f(x)\in\left[1;\frac{\sqrt[6]{3}+3}{3}\right][/tex] за [tex]x\geq \sqrt 6[/tex] и [tex]f(x)\in \left[-\frac{\sqrt[6]{3}+3}{3};-1\right][/tex] за [tex]x\leq -\sqrt 6[/tex]
Разгледай 3 случая: [tex]x,y[/tex] положителни, отрицателни или едното е положително, другото е отрицателно. Получава се
[tex]f(x)+f(y)\in \left[-\frac{2\left(\sqrt[6]{3}+3\right)}{3};-2\right]\cup \left[-\frac{\sqrt[6]{3}}{3};\frac{\sqrt[6]{3}}{3}\right]\cup\left[2;\frac{2\left(\sqrt[6]{3}+3\right)}{3}\right][/tex].
Това са и търсените стойности за [tex]a[/tex]. При [tex]a=2[/tex], уравнението е [tex]f(x)+f(y)=2[/tex]
[tex]x,y[/tex] трябва да са положителни. Имаме [tex]f(x)\geq 1, f(y)\geq 1[/tex], като
равенство се достига само при [tex]x=\sqrt 6[/tex] и [tex]y=\sqrt 6[/tex]. Значи единственото решение е [tex]x=y=\sqrt 6[/tex].