Стереометрична задачa

[Гост]

stereom.

[KOPMOPAH]

Като начало да разберем какви са тези "равни" ъгли ...
Отбелязваме ги с $\varphi$. Допускаме, че са остри. Спускаме височините $MP$ в $\triangle ADM$ и $MQ$ в $\triangle BDM$. Триъгълницте $\triangle ADM$ и $\triangle BDM$ са еднакви, защото имат обща страна и два равни ъгъла. Следователно $MP=MQ$.
Разглеждаме $\triangle PQM$. Той е правоъгълен с хипотенуза $MP$. Но преди малко получихме, че $MP=MQ$, демек катетът $MQ$ е равен на хипотенузата...
С подобни разсъждения се отхвърля и предположението, че равните ъгли са тъпи, следователно за тях остава единствената възможност да са прави.




Равнината на сечението пресича равнината на основата в права, успоредна на диагонала $AC$ и минаваща през т.$B$. Правата, определена от точките $A$ и $D$ пресича пресечницата в т.$E$, а правата, определена от точките $D$ и $4C$ - в т.$F$. Свързвайки точките $E$ и $F$ с т.$N$ получаваме точките $G$ и $H$. Четириъгълникът $BGNH$ е търсеното сечение. Остава да се намери лицето му.



$$AO=\cos \theta,\,DO=\sin \theta,\,AC=2\cos \theta$$
$$\triangle ACD\approx \triangle EFD \Rightarrow EF=4\cos \theta$$
В $\triangle EDM$ $EN$ е медиана, $AM$ - също, следователно $NG=\frac 13 EN$
$$\triangle NGH\approx \triangle EFN \Rightarrow GH=\frac 13 EF=\frac 43 \cos \theta~~~~~~~~~~~(1)$$
От Питагорова теорема за $\triangle BDN$ получаваме $$BN=\sqrt{4\sin^2 \theta+2}~~~~~~~~~~~(2)$$
Лицето на четириъгълника намираме по формулата:$$S_{BGNH}=\frac 12 BN.GH$$Като заместим $BN$ и $GH$ със техните значения от изразите $(1)$ и $(2)$ ще получим:$$S_{BGNH}=\frac 23\cos \theta \sqrt{4\sin^2 \theta+2}$$