Лице на трапец, чиито диагонали са перпендикулярни

[Меди]

Диагоналите на трапец са перпендикулярни и разстоянието от пресечната им точка съответно до голямата основа, малката основа и едното бедро са 24 $cm,12$ $cm$ и $\dfrac{60\sqrt{13}}{13}$ $cm.$ Намерете лицето на трапеца.

Скрит текст: покажи

Отговор: $1350$ $cm^2$

Трапец, чиито диагонали са перпендикулярни.png (15.63 KiB) Прегледано 646 пъти

Може ли някакви насоки за решението?

[Евва]

Отговорът е правилен .
Използвах подобни триъгълници и метрични равенства в правоъгълен триъгълник .
Работих с 2 неизвестни, но решението ми се струва дълго .

[Евва]

Скрит текст: покажи

Подобрих решението и работих само с едно неизвестно.

Нека АМ=х ,[tex]\angle[/tex]ОАМ=[tex]\angle[/tex]DON (с взаимноперпендикулярни рамене)
[tex]\triangle[/tex]АМО[tex]\approx[/tex][tex]\triangle[/tex]OND (1 признак) [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{OM}{ND}[/tex]=[tex]\frac{AM}{ON}[/tex] ; [tex]\frac{24}{ND}[/tex]=[tex]\frac{x}{12}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] ND=[tex]\frac{288}{x}[/tex]
Да работим с правоъгълния [tex]\triangle[/tex]AOD ,като първо намерим катетите.

([tex]\triangle[/tex]AMO) AO=[tex]\sqrt{x^{2}+576}[/tex] ; ([tex]\triangle[/tex]OND) OD=[tex]\sqrt{\frac{82944}{x^{2}}+144}[/tex] т.е. OD=[tex]\frac{\sqrt{144x^{2}+82 944}}{x}[/tex]

Скрит текст: покажи

По-рядко използвана формула за правоъгълен триъгълник

[tex]\frac{1}{AO^{2}}[/tex]+[tex]\frac{1}{DO^{2}}[/tex]=[tex]\frac{1}{OP^{2}}[/tex]

[tex]\frac{1}{576+x^{2}}[/tex]+[tex]\frac{1}{\frac{144x^{2}+82944}{x^{2}}}[/tex]=[tex]\frac{1}{\frac{3600}{13}}[/tex] ...
...
x=18 ; намерихме АМ=х=18 см.
[tex]\triangle[/tex]АВО-правоъгълен [tex]ОМ^{2}[/tex]=АМ.ВМ ; [tex]24^{2}[/tex]=18.ВМ [tex]\Rightarrow[/tex] ВМ=32 см. вече знаем АВ=18+32=50 см.
(CD=?) [tex]\triangle[/tex]ABO[tex]\approx[/tex][tex]\triangle[/tex]OCD (1 признак) [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{АВ}{CD}[/tex]=[tex]\frac{OM}{ON}[/tex] ; [tex]\frac{50}{CD}[/tex]=[tex]\frac{24}{12}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] CD=25 см.

[tex]S_{ABCD }[/tex]=[tex]\frac{(AB+CD)MN}{2}[/tex]=[tex]\frac{(50+25)36}{2}[/tex]=1 350 [tex]см.^{2}[/tex]

[math10.com]

Нека [tex]AC=3x ; BD=3y \triangle ABO\approx \triangle CDO \Rightarrow AO=2x ; CO=x ;BO=2y ; DO=y[/tex]

От Питагорова теорема за [tex]\triangle CDO ; \triangle ADO \Rightarrow CD^2=x^2+y^2 ; AD^2=4x^2+y^2[/tex]

От метрични зависимости в правоъгълен триъгълник имаме:

[tex]ON.CD=CO.DO \Rightarrow CD^2=\frac{x^2.y^2}{144}[/tex]

[tex]OP.AD=AO.DO \Rightarrow AD^2=\frac{4.x^2.y^2}{\frac{3600}{13}}=\frac{13.x^2.y^2}{900}[/tex]

Остана да решим системата:[tex]\begin{array}{|l} x^2+ y^2 = \frac{x^2.y^2}{144} \\ 4.x^2 + y^2 =\frac{13.x^2.y^2}{900} \end{array} \Rightarrow 13.144(x^2+y^2)=900(4x^2+y^2) \Rightarrow x=\frac {3.y}{4}[/tex]

Заместваме в едното уравнение:[tex]144(\frac{9y^2}{16}+y^2)=\frac{9y^4}{16} \Rightarrow 144.25y^2=9y^4 \Rightarrow y^2=400 \Rightarrow y=20 \Rightarrow x=15[/tex]

[tex]S=\frac{AC.BD}{2}=\frac{9xy}{2}=1350[/tex]

П.П.С 2 неизвестни е но мисля че не е чак толкова дълго.