"Европейско Кенгуру" 2019 г.

[Гост]

Здравейте, нямам голям опит със състезателните задачи, но много искам да се науча да ги решавам. Започнах с темата от "Европейско кенгуру" от миналата година.

3 zad.PNG (54.75 KiB) Прегледано 729 пъти

Не знам как е правилно да разсъждавам на тази задача. Написах си на едно листче "SHAVE" и просто видях какъв е огледалният образ на думата. Отговор: E)

4 zad.PNG (40.62 KiB) Прегледано 729 пъти

Мислех си за по-бързо решение, но не знам дали е вярно: най-малката възможна сума на заровете е 3, а най-голямата 18. И сега намираме колко са числата в [3; 18] - 18-3+1=16. Само че не знам как да обоснова, защо всички числа в интервала са възможни суми. Отговор: C)

5 zad.PNG (58.66 KiB) Прегледано 729 пъти

Как да определя това? Отговор: B)

[Davids]

За кой клас е това кенгуру?

По 3. зад.: Идеята тук е по-скоро свързана с физиката, която пък на свой ред отново се уповава на математиката. Стига ти да знаеш, че огледалото обръща отляво надясно, т.е. по вертикална ос на симетрия веднъж на $180^{\circ}$. Това може да ти послужи за обосновка, но понеже в кенгуруто идеята е просто да знаеш верния отговор достатъчно бързо, то интуицията ти е била правилна и достатъчна. Просто може да си представиш, че гледаш надписа от обратната страна на екрана (сякаш си заключен в екрана зад надписа), и ако тогава го виждаш правилно, значи си уцелил.

По 4. зад.: Обосновка отново не ти е нужна, доколкото ми е познато кенгуруто. Начинът ти на мислене е напълно верен. Мисля, че е доста тривиално, че всяко естествено число $p \in \{p \in \N | k \le p \le kn, k\in \N, n\in \N\}$ може да бъде представено като сума от $k$ естествени числа в интервала $[1, n]$. На математически език:
Ако $p, k, n \in \N$ и $k\le p \le kn$, то $p = \sum_{i = 1}^k p_i$ за $p_i \in \N$ и $p_i \le n$.

По 5. зад.: Tази е най-интересна. Идеята е да се намери подточката, в която лицето на фигурата, покрита от водата, е най-голямо (което в двуизмерен план, съответстващ на триизмерен обем, е еквивалентно на най-голям обем вода). Имаш четириъгълници с константна страна - дъното на чашата. Освен това ъглите при дъното винаги са прави. Значи имаш правоъгълен трапец, чието лице е равно на $S = \frac{x + y}{2}.a$. $a$ ти е параметър, а $x$ и $y$ са ти основите на трапеца (или частите от стените на чашата, маркирани с отмерителни единици). Тази формула ти дава ключовата зависимост - лицето е правопропорционално на сбора от тези две части от стените, на които нивото на водата ги разделя. Значи броиш чертичките, които водата покрива от двете страни сумарно, и чашата с най-голям сбор ти е с най-много вода. В случая всичките са с по $x + y = 12$, а само при В) са 13. И така.

[Гост]

За задачата със зара си разсъждаваш ок, друг начин е да смяташ много: всеки зар може да има точно 6 стойности, а за трите са ти 6*6*6=216 общо; от тези стойности си формираш сборовете, като зачиташ, че начините на получаването на един сбор са няколко, но това не е важно за тази задача. Например числото 4 можеш да го получиш от (1,1,2), т.е. по 4 различни начина, а числото 5 от:(1,1,3),(1,2,2), т.е. по 8 различни начина и така продължаваш до 17; тези различни начини на получаване на едно и също число ,ако ги бележим с p3,p4,...,p17,p18, ще ти дават 216, т.е.,за да намериш различните стойности на сумата ти трябва: 216-(p3+p4+...+p18).
За задачата с флуида: смяташ средно аритметично отляво и отдясно, защото течността е несвиваема. Коятно средна стойност е най-голяма, този обем е най-голям

[Гост]

За кой клас е това кенгуру?

По 3. зад.: Идеята тук е по-скоро свързана с физиката, която пък на свой ред отново се уповава на математиката. Стига ти да знаеш, че огледалото обръща отляво надясно, т.е. по вертикална ос на симетрия веднъж на $180^{\circ}$. Това може да ти послужи за обосновка, но понеже в кенгуруто идеята е просто да знаеш верния отговор достатъчно бързо, то интуицията ти е била правилна и достатъчна. Просто може да си представиш, че гледаш надписа от обратната страна на екрана (сякаш си заключен в екрана зад надписа), и ако тогава го виждаш правилно, значи си уцелил.

По 4. зад.: Обосновка отново не ти е нужна, доколкото ми е познато кенгуруто. Начинът ти на мислене е напълно верен. Мисля, че е доста тривиално, че всяко естествено число $p \in \{p \in \N | k \le p \le kn, k\in \N, n\in \N\}$ може да бъде представено като сума от $k$ естествени числа в интервала $[1, n]$. На математически език:
Ако $p, k, n \in \N$ и $k\le p \le kn$, то $p = \sum_{i = 1}^k p_i$ за $p_i \in \N$ и $p_i \le n$.

По 5. зад.: Tази е най-интересна. Идеята е да се намери подточката, в която лицето на фигурата, покрита от водата, е най-голямо (което в двуизмерен план, съответстващ на триизмерен обем, е еквивалентно на най-голям обем вода). Имаш четириъгълници с константна страна - дъното на чашата. Освен това ъглите при дъното винаги са прави. Значи имаш правоъгълен трапец, чието лице е равно на $S = \frac{x + y}{2}.a$. $a$ ти е параметър, а $x$ и $y$ са ти основите на трапеца (или частите от стените на чашата, маркирани с отмерителни единици). Тази формула ти дава ключовата зависимост - лицето е правопропорционално на сбора от тези две части от стените, на които нивото на водата ги разделя. Значи броиш чертичките, които водата покрива от двете страни сумарно, и чашата с най-голям сбор ти е с най-много вода. В случая всичките са с по $x + y = 12$, а само при В) са 13. И така.

Много благодаря за вниманието! Темата е за 9-10 клас. На четвърта задача не разбрах точно какво искате да ми кажете и как да го приложа за въпроса си; малко ми е сложничък този запис. За пета задача как сме сигурни, че при най-голямо лице на фигурата, покрита от водата, имаме и най-голям обем на водата? Интуитивно е, но искам за себе си да си го разбера. Също на чертежа, който са дали, никак не ми изглеждат прави тези ъгли. Нали говорите за това, че основата е перпендикулярна на стените?

[Гост]

Не мога да добавя нещо към стария си коментар. Извинявам се, но трябва да напиша нов. В действителност не са перпендикулярни основата и стените, защото нали чашата е цилиндър с изрязана горна част.