Кнадидатстудентски изпит-СУ

[Гост]

Може ли някой да помогне?

[Davids]

Може.
Това, което искаме да докажем, можем да презапишем като: $$ y + 7 - 3\sqrt{2} \le x \le y + 7 + 3\sqrt{2} \Leftrightarrow x - y \in [7 - 3\sqrt{2}, 7 + 3\sqrt{2}]$$
Даденото уравнение е уравнение на кръг под прикритие:
$$x^2 + y^2 - 4x + 10y + 20 = 0 \Leftrightarrow (x-2)^2 + (y+5)^2 = 9$$
Центърът е $(2, -5)$, радиусът е 3.

Търсейки интервала на стойностите на $x - y = c$, реално търсим множеството от всички прави, успоредни на $y = x$, които пресичат дадения кръг, понеже $x - y = c \Leftrightarrow y = x - c$ е просто права, успоредна на $y = x$.
С други думи, търсим всички стойности на $c$, за които системата:
[tex]\begin{array}{|l} (x-2)^2 + (y+5)^2 = 9 \\ y = x - c \end{array}[/tex]
има решения.

Заместваме второто в първото, получаваме:
$(x-2)^2 + (x + 5 - c)^2 - 9 = 0$
$x^2 -4x + 4 + x^2 +2(5-c)x + (5-c)^2 - 9 = 0$
$2x^2 + 2(3-c)x +c^2-10c+20 = 0$

За да има решения относно $x$ (а и понеже по условие е дадено, че $x, y$ са съществуващи реални числа), трябва:
$D = 4(3-c)^2 - 4.2(c^2 -10c+20) \ge 0$
$\Leftrightarrow c^2 - 14c + 31 \le 0$
$\Rightarrow c \in [7 - 3\sqrt{2}; 7 + 3\sqrt{2}]$

Откъдето търсеното е доказано.

Даденият интервал може да се генерализира дори за всеки кръг $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$, но ако ти се играе, ще остава на теб.