Квадратни уравнения

[Гост]

Даден е полиномът [tex]P(x)=Ax^{2}+Bx+C[/tex]. Уравнението [tex]P(x)=x[/tex] има различни реални решения. Докажете, че те са също решения и на [tex]P(P(x))=x[/tex]. Намерете квадратно уравнение, чиито решения са останалите две решения на това уравнение. Решете уравнението [tex](y^{2}-3y+2)^{2}-3(y^{2}-3y+2)-y+2=0[/tex]

[Гост]

За уравнението относно у получавам: у=0,у=2,у=2+ [tex]\sqrt{2}[/tex],у=2- [tex]\sqrt{2}[/tex]

[Гост]

За задачата с полинома получавам,че полиномътс другите два корена, х3 и х4, има вида: [tex]А^{2}[/tex][tex]x^{2}[/tex]+(В+1)Ах+(В+1+АС)=0. Не гарантирам, че е вярно (:

[S.B.]

......Решете уравнението [tex](y^{2}-3y+2)^{2}-3(y^{2}-3y+2)-y+2=0[/tex]

[tex](y^{2} - 3y + 2)^{2} - 3(y^{2} - 3y + 2) - y + 2 = 0 \Leftrightarrow[/tex]

$(y - 2)^{2}(y - 1)^{2} - 3(y - 2)(y - 1) -(y - 2) = 0$

Нека $y - 2 = t \Rightarrow y = t + 2$

$t^{2}(t + 2 - 1)^{2} - 3t(t + 2 - 1) - t = 0 \Leftrightarrow t^{2}(t + 1)^{2} + 3t(t + 1) - t = 0 \Leftrightarrow$

$ t[t(t + 1)^{2} - 3(t + 1) - 1] = 0$

$ t = 0 \Rightarrow y - 2 = 0 \Rightarrow y_{1 } = 2$

$t(t + 1)^{2} - 3(t + 1) - 1 = 0 \Leftrightarrow $

$t^{3} + 2t^{2} + t -3t - 3 - 1 = 0 \Leftrightarrow $

$t^{3} + 2t^{2} - 2t - 4 = 0 \Leftrightarrow$

$t^{2}(t + 2) - 2(t + 2) = 0 \Leftrightarrow$

$ (t + 2)(t^{2} - 2) = 0 \Leftrightarrow $

$(t + 2)(t + \sqrt{2})(t - \sqrt{2}) = 0$

$ t + 2 = 0 \Rightarrow t = - 2 \Rightarrow y - 2 = - 2 \Rightarrow y_{2 } = 0$

$ t + \sqrt{2} = 0 \Rightarrow t = - \sqrt{2} \Rightarrow y - 2 = - \sqrt{2} \Rightarrow y_{3 } = 2 - \sqrt{2}$

$ t - \sqrt{2} = 0 \Rightarrow t = \sqrt{2} \Rightarrow y - 2 = \sqrt{2} \Rightarrow y_{4 } = 2 + \sqrt{2}$
$$y_{1 } = 2 ; y_{2 } = 0 ; y_{3 } = 2 - \sqrt{2} ; y_{4 } = 2 + \sqrt{2}$$