Правоъгълен триъгълник и описаната му окръжност

[Гост]

Опитах се да я реша задачата, но понеже няма отговори, то я пускам тук с надеждата накой да сподели идеите си и да си сверя резултатите.

[KOPMOPAH]

Правоъгълен триъгълник и описаната му окръжност.png (15.82 KiB) Прегледано 1473 пъти

Като начало ще отбележим, че $\measuredangle ABC=\measuredangle AFO$ като ъгли с перпендикулярни рамене и щом $\measuredangle AFO=\alpha$, значи $\measuredangle ABC=\alpha$, а тогава с чиста съвест можем да отбележим $\measuredangle BAC=\beta$.

От подобието $\triangle AOF\approx \triangle BOE$ получаваме $$\frac{a+b}R=\frac Ra\Rightarrow R=\sqrt{a(a+b)}$$Лицето на кръга. ограничен от окръжността $(k)$ и $\cos \angle BAC$... пардон, само от окръжността, ама така е написано, че го прочетох три пъти, докато разбера какво се иска
Та лицето на кръга, ... е:$$S_{кръг}=\pi R^2=\pi.a(a+b)$$
В $\triangle OBE$ хипотенузата $BE=\sqrt{R^2+a^2}=\sqrt{2a^2+ab}$, a $\measuredangle OEB=\measuredangle BAC=\beta$ пак заради перпендикулярните рамене. Следователно:$$\cos \measuredangle BAC=\frac a{\sqrt{2a^2+ab}}$$

В подусловие б) има едно лесно тригонометрично уравнение$$\cos^2\alpha-\sin \alpha=\frac 14,$$където след заместване $ \cos ^2\alpha=1-\sin^2\alpha$ се стига до $$4\sin^2\alpha+4\sin\alpha-3=0$$с корени $\frac 12$ и $-\frac 32$. Значи $\alpha=30^\circ$, $R=a \sqrt 3$.
$$a+b-1=R\Rightarrow 3a-1=a\sqrt 3 \Rightarrow a=\frac{3+\sqrt 3}6, R=\frac {\sqrt 3+1}2$$
И сега да намерим лицето на частта от триъгълника $\triangle AFO$, останала вън от окръжността. За целта от лицето на $\triangle AFO$ трябва да се извади лицето на равностранния $\triangle AOC$ и лицето на сектора $COD$. И така:$$S_{AOC}=\frac {R^2\sqrt 3}{4}=...$$ $$S_{COD}=\frac {30}{360}\pi R^2=...$$