Система уравнения

[Гост]

[S.B.]

$\begin{array}{|l} 2x^{2} - y^{2} - x + a = 0 \\ 4x^{2} - 3y^{2} - 2x + ay + a + 1 = 0 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} 2x^{2} -x = y^{2} - a \\ 2(2x^{2} - x) = 3y^{2} - ay - a - 1 \end{array} \Leftrightarrow$

[tex]\begin{array}{|l} 2(2x^{2} - x) = 2y^{2} - 2a \\2(2x^{2} - x) =3y^{2}- ay - a - 1 \end{array} \Rightarrow 2y^{2} - 2a = 3y^{2}- ay - a - 1 \Leftrightarrow[/tex] $$ y^{2} - ay + a - 1 = 0 $$

a) $a = 3$

$y^{2} - 3y + 2 = 0 \Rightarrow y_{1 } = 1 , y_{2 } = 2$
От първото уравнение:$$2x^{2 } - x = y^{2} - a \Rightarrow $$
1) $2x^{2} - x = y_{1 }^{2} - 3 \Leftrightarrow 2x^{2} - x = 1 - 3 \Leftrightarrow 2x^{2} - x + 2 = 0 , D = -15 < 0 \Rightarrow$ няма реални корени;
2) $2x^{2} - x = y_{2 }^{2} - 3 \Leftrightarrow 2x^{2} - x = 4 - 3 \Leftrightarrow 2x^{2} - x - 1 = 0 ,D= 9,x_{1 } = 1 , x_{2 } = -\frac{1}{2}$
Отговорите са $(1,2) , ( - \frac{1}{2} , 2)$

б) $ y^{2} - ay + a - 1 = 0$
$D = a^{2} - 4(a - 1) = a^{2} - 4a + 4 = (a - 2)^{2}$
$D> 0 $ за $\forall a\ne 2$ тогава уравнението спрямо $y$ има два различни реални корени $y_{1 } \ne y_{2 }$
Уравнението $2x^{2} - x - (y^{2} - a) = 0 $ ще има решение,когато $D = 1 + 4(y^{2} - a) \ge0 $ или $y^{2} - a >0$
$D = 0 $ за $a = 2$ Тогава $y^{2} - 2y + 1 = 0 \Leftrightarrow (y - 1)^{2} = 0 \Rightarrow y_{1 } = y_{2 } = 1 ,y^{2} - a < 0 \Rightarrow $ уравнението няма да има реални корени,а от там и системата няма решение.
ОТГОВОР:
За $a = 2$ системата няма решение;
За $a\ne 2$ и $y_{1,2 }^{2} - a < 0$ системата няма решение

в)

При цялото ми уважение към авторите на задачата , не съм съгласна,че може да съществуват 4 различни стойности за $y$ тъй като уравнението спрямо $y$ е от втора степен и може да има само 2 корена
Решенията на системата могат да бъдат:
$(x_{1 },y_{1 }) , (x_{2 },y_{1 }) , (x_{3 },y_{2 }),(x_{4 },y_{2 })$
Търсим $f(a) = x_{1 }^{2} + x_{2 }^{2} + x_{3 }^{2} + x_{4 }^{2}$
$2x^{2} - x - (y_{1 }^{2} - a) = 0 \Leftrightarrow x^{2} - \frac{1}{2}x - \frac{y_{1 }^{2} - a}{2} = 0$
$x_{1 } + x_{2 } = \frac{1}{2} , x_{1 }.x_{2 } = -\frac{y_{1 }^{2} - a}{ 2}$
$x_{1 }^{2} + x_{2 }^{2} = (x_{1 } + x_{2 })^{2} - 2x_{1 }x_{2 } = \frac{1}{4} - a + y_{1 }^{2}$
Аналогично намирам:
$x_{3 }^{2} + x_{4 }^{2} = (x_{3 } + x_{4 })^{2} - 2x_{3 }x_{4 } = \frac{1}{4} - a + y_{2 }^{2}$
$f(a) = x_{1 }^{2}+x_{2 }^{2}+x_{3 }^{2}+x_{4 }^{2} = \frac{1}{2} - 2a + y_{1 }^{2}+y_{2 }^{2}$
От уравнението:
$y^{2} - ay + a - 1 = 0$ :
$y_{1 } + y_{2 } = a , y_{1 }.y_{2 } = a - 1$
$y_{1 }^{2}+ y_{2 }^{2} = (y_{1 } + y_{2 })^{2} - 2y_{1 }.y_{2 } = a^{2} - 2a + 2$
Получаваме:
$f(a) = a^{2} - 4a + \frac{5}{2}$
$f'(a) = 2a - 4 , f'(а) = 0 \Rightarrow$ за $ a = 2 $ съществува минимум,$f_{min } = - \frac{3}{2}$

Скрит текст: покажи

Много странно!!!Но това се получава...

[S.B.]

$\begin{array}{|l} 2x^{2} - y^{2} - x + a = 0 \\ 4x^{2} - 3y^{2} - 2x + ay + a + 1 = 0 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} 2x^{2} -x = y^{2} - a \\ 2(2x^{2} - x) = 3y^{2} - ay - a - 1 \end{array} \Leftrightarrow$

[tex]\begin{array}{|l} 2(2x^{2} - x) = 2y^{2} - 2a \\2(2x^{2} - x) =3y^{2}- ay - a - 1 \end{array} \Rightarrow 2y^{2} - 2a = 3y^{2}- ay - a - 1 \Leftrightarrow[/tex] $$ y^{2} - ay + a - 1 = 0 $$

a) $a = 3$

$y^{2} - 3y + 2 = 0 \Rightarrow y_{1 } = 1 , y_{2 } = 2$
От първото уравнение:$$2x^{2 } - x = y^{2} - a \Rightarrow $$
1) $2x^{2} - x = y_{1 }^{2} - 3 \Leftrightarrow 2x^{2} - x = 1 - 3 \Leftrightarrow 2x^{2} - x + 2 = 0 , D = -15 < 0 \Rightarrow$ няма реални корени;
2) $2x^{2} - x = y_{2 }^{2} - 3 \Leftrightarrow 2x^{2} - x = 4 - 3 \Leftrightarrow 2x^{2} - x - 1 = 0 ,D= 9,x_{1 } = 1 , x_{2 } = -\frac{1}{2}$
Отговорите са $(1,2) , ( - \frac{1}{2} , 2)$

б) $ y^{2} - ay + a - 1 = 0$
$D = a^{2} - 4(a - 1) = a^{2} - 4a + 4 = (a - 2)^{2}$
$D> 0 $ за $\forall a\ne 2$ тогава уравнението спрямо $y$ има два различни реални корени $y_{1 } \ne y_{2 }$
Уравнението $2x^{2} - x - (y^{2} - a) = 0 $ ще има решение,когато $D = 1 + 4(y^{2} - a) \ge0 $ или $y^{2} - a >0$
$D = 0 $ за $a = 2$ Тогава $y^{2} - 2y + 1 = 0 \Leftrightarrow (y - 1)^{2} = 0 \Rightarrow y_{1 } = y_{2 } = 1 ,y^{2} - a < 0 \Rightarrow $ уравнението няма да има реални корени,а от там и системата няма решение.
ОТГОВОР:
За $a = 2$ системата няма решение;
За $a\ne 2$ и $y_{1,2 }^{2} - a < 0$ системата няма решение

в)

При цялото ми уважение към авторите на задачата , не съм съгласна,че може да съществуват 4 различни стойности за $y$ тъй като уравнението спрямо $y$ е от втора степен и може да има само 2 корена
Решенията на системата могат да бъдат:
$(x_{1 },y_{1 }) , (x_{2 },y_{1 }) , (x_{3 },y_{2 }),(x_{4 },y_{2 })$
Търсим $f(a) = x_{1 }^{2} + x_{2 }^{2} + x_{3 }^{2} + x_{4 }^{2}$
$2x^{2} - x - (y_{1 }^{2} - a) = 0 \Leftrightarrow x^{2} - \frac{1}{2}x - \frac{y_{1 }^{2} - a}{2} = 0$
$x_{1 } + x_{2 } = \frac{1}{2} , x_{1 }.x_{2 } = -\frac{y_{1 }^{2} - a}{ 2}$
$x_{1 }^{2} + x_{2 }^{2} = (x_{1 } + x_{2 })^{2} - 2x_{1 }x_{2 } = \frac{1}{4} - a + y_{1 }^{2}$
Аналогично намирам:
$x_{3 }^{2} + x_{4 }^{2} = (x_{3 } + x_{4 })^{2} - 2x_{3 }x_{4 } = \frac{1}{4} - a + y_{2 }^{2}$
$f(a) = x_{1 }^{2}+x_{2 }^{2}+x_{3 }^{2}+x_{4 }^{2} = \frac{1}{2} - 2a + y_{1 }^{2}+y_{2 }^{2}$
От уравнението:
$y^{2} - ay + a - 1 = 0$ :
$y_{1 } + y_{2 } = a , y_{1 }.y_{2 } = a - 1$
$y_{1 }^{2}+ y_{2 }^{2} = (y_{1 } + y_{2 })^{2} - 2y_{1 }.y_{2 } = a^{2} - 2a + 2$
Получаваме:
$f(a) = a^{2} - 4a + \frac{5}{2}$
$f'(a) = 2a - 4 , f'(а) = 0 \Rightarrow$ за $ a = 2 $ съществува минимум,$f_{min } = - \frac{3}{2}$

Скрит текст: покажи

Много странно!!!Но това се получава...

Изглежда правя грешка,защото е казано $a\le 0$???
Не мога да си намеря грешката и се отказвам от мнението си!

[pal702004]

b) $y^2-ay+a-1=0$
На това му се вика да стигнеш до Рим и да не стреляш по папата. След като дискриминантата е точен квадрат е добре да се реши. Корените на това уравнение са

$y_1=1,y_2=a-1$

И решенията за $x$
При $y=1$

$x_{1,2}=\dfrac{1\pm \sqrt{9-8a}}{4}$

При $y=a-1$

$x_{3,4}=\dfrac{1\pm \sqrt{8a^2-24a+9}}{4}$

Така че системата няма да има никакви решения (реални) ако и двата подкоренни израза са отрицателни, т.е.

$a \in \left(\dfrac 9 8;\dfrac{6+3\sqrt 2}{4}\right)$

и при $a<0$ системата има 4 решения.

[S.B.]

На това му се вика да стигнеш до Рим и да не стреляш по папата...

Ами,да!Умните хора са казали,че в "малките" часове на денонощието не се решават задачи,а се правят други работи...(например - спи се!)