Правоъгълен триъгълник с медиани към катетите

[Меди]

Острият ъгъл между медианите към катетите на правоъгълен триъгълник е $\alpha.$ Докажете, че $\operatorname{tg}{\alpha}\le \dfrac{3}{4}.$

Правоъгълен триъгълник с медиани към катетите.png (8.94 KiB) Прегледано 1079 пъти

Все още сме дефинирали тригонометричните функции само за остри ъгли в правоъгълен триъгълник, така че ми се струваше най-логично да вкарам ъгъла $\alpha$ в някакъв правоъгълен триъгълник. Спуснал съм перпендикуляр през точката $B_1$ към медианата $AA_1,$ който я пресича в точката $H.$ Сега от определението $\operatorname{tg}{\alpha}=\dfrac{B_1H}{HG}.$ Така сведох задачата до доказването на неравенството $\dfrac{B_1H}{HG}\le \dfrac{3}{4},$ което никак не ми се отдава. Много ще съм благодарен, ако ми дадете някакви насоки. Може и друг път към решението.

[Davids]

Сигурен ли си, че се търси доказателство за всеки правоъгълен триъгълник, а не ти е даден метричен елемент?

[Меди]

Сигурен ли си, че се търси доказателство за всеки правоъгълен триъгълник, а не ти е даден метричен елемент?

Здравей! Да, прочетох условието още няколко пъти и сверих с това, което съм написал в поста. Трябва да се докаже за всеки правоъгълен триъгълник.

[Евва]

Скрит текст: покажи

Ще тръгна по идеята на Kristiyan K.

Използвайки подобие на триъгълници-намерих Н[tex]В_{1 }[/tex]=[tex]\frac{ab}{4m_{a }}[/tex] , AH=[tex]\frac{b^{2}}{2m_{a }}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] HG=[tex]\frac{c^{2}}{6m_{a }}[/tex]

tg[tex]\alpha[/tex]=[tex]\frac{HB_{1 }}{HG}[/tex]=[tex]\frac{\frac{ab}{4m_{a }}}{\frac{c^{2}}{6m_{a }}}[/tex]= [tex]\frac{3ab}{2c^{2}}[/tex]= [tex]\frac{3}{2}[/tex].[tex]\frac{ch_{c }}{c^{2}}[/tex]=[tex]\frac{3}{2}[/tex].[tex]\frac{h_{c }}{c}[/tex]
Тук не съм много сигурна ,но мисля,че максималното [tex]h_{c }[/tex] е [tex]\frac{c}{2}[/tex] ( Когато [tex]\triangle[/tex]АВС е правоъгълен и равнобедрен ) .
Тогава tg[tex]\alpha[/tex][tex]\le[/tex][tex]\frac{3}{2}[/tex].[tex]\frac{\frac{c}{2}}{c}[/tex][tex]\le[/tex][tex]\frac{3}{4}[/tex]

[Меди]

Скрит текст: покажи

Ще тръгна по идеята на Kristiyan K.

Използвайки подобие на триъгълници-намерих Н[tex]В_{1 }[/tex]=[tex]\frac{ab}{4m_{a }}[/tex] , AH=[tex]\frac{b^{2}}{2m_{a }}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] HG=[tex]\frac{c^{2}}{6m_{a }}[/tex]

tg[tex]\alpha[/tex]=[tex]\frac{HB_{1 }}{HG}[/tex]=[tex]\frac{\frac{ab}{4m_{a }}}{\frac{c^{2}}{6m_{a }}}[/tex]= [tex]\frac{3ab}{2c^{2}}[/tex]= [tex]\frac{3}{2}[/tex].[tex]\frac{ch_{c }}{c^{2}}[/tex]=[tex]\frac{3}{2}[/tex].[tex]\frac{h_{c }}{c}[/tex]
Тук не съм много сигурна ,но мисля,че максималното [tex]h_{c }[/tex] е [tex]\frac{c}{2}[/tex] ( Когато [tex]\triangle[/tex]АВС е правоъгълен и равнобедрен ) .
Тогава tg[tex]\alpha[/tex][tex]\le[/tex][tex]\frac{3}{2}[/tex].[tex]\frac{\frac{c}{2}}{c}[/tex][tex]\le[/tex][tex]\frac{3}{4}[/tex]

Благодаря за отговора! Как намерихме $HG?$ Аз се опитах да го направя чрез разлика на отсечките $AG-AH,$ но не успях да получа вашия израз. Каква може да ми бъде обосновката, че височината е максимална, когато триъгълникът е равнобедрен правоъгълен?

[Евва]

Начертай няколко правоъгълни тр-ци вписани в окръжност ,които имат една и съща хипотенуза .
Виждаш ли как [tex]h_{c }[/tex] се променя ?
Максималното [tex]h_{c }[/tex]=R=[tex]\frac{c}{2}[/tex]

[Меди]

Начертай няколко правоъгълни тр-ци вписани в окръжност ,които имат една и съща хипотенуза .
Виждаш ли как [tex]h_{c }[/tex] се променя ?
Максималното [tex]h_{c }[/tex]=R=[tex]\frac{c}{2}[/tex]

Да! Благодаря още веднъж! Може ли само малко разяснение за $HG?$
П.П. Използва се формула за медианата в триъгълник.

[Евва]

HG=AG-AH=[tex]\frac{2}{3}[/tex][tex]m_{a }[/tex]-[tex]\frac{b^{2}}{2m_{a }}[/tex]=

=[tex]\frac{4m_{a }^{2}-3b^{2}}{6m_{a }}[/tex]=

=[tex]\frac{\frac{4}{1}.\frac{2b^{2}+2c^{2}-a^{2}}{4}-3b^{2}}{6m_{a }}[/tex]=

=[tex]\frac{2c^{2}-a^{2}-b^{2}}{6m_{a }}[/tex]=

=[tex]\frac{2c^{2}-c^{2}}{6m_{a }}[/tex]=

=[tex]\frac{c^{2}}{6m_{a }}[/tex]