Квадратен тричлен и уравнение за корените

[Davids]

Даден е квадратният тричлен $f(x) = 8a^2x^2 + 8ax -a +1$ с реален параметър $a$. Да се намерят стойностите на $a$, за които уравнението $f(x) = 0$ има два различни реални корена $\alpha$ и $\beta$, за които е в сила $5\alpha - 3\beta = 1$.

Според отговорите единствено решение е $a = 7$, но аз смятам също, че и $a = 5 + 4\sqrt{2}$ (или нещо подобно, пиша по памет от телефона) е решение (ако разменим местата на първия и втория корен на уравнението $f(x) = 0$ в даденото условие). Благодаря предварително на отзовалите се!

[Knowledge Greedy]

Полагаме (за по-малко писане) [tex]2ax=t \,\ \Rightarrow \,\ 4a^2x^2=t^2[/tex]

Уравнението става [tex]2t^2+4t-a+1=0[/tex]

корените са [tex]t_{1,2}=-1\pm \sqrt{\frac{a+1}{2}}[/tex]

Следователно [tex]x_{1,2}=-\frac{1}{2a}\pm \frac{1}{2a}\sqrt{\frac{a+1}{2}}[/tex]

Ако
[tex]\alpha=-\frac{1}{2a}+\frac{1}{2a}\sqrt{\frac{a+1}{2}}[/tex]
и
[tex]\beta=-\frac{1}{2a}-\frac{1}{2a}\sqrt{\frac{a+1}{2}}[/tex]

с малко усилия се стига до [tex]a=7[/tex] и [tex]a=-1[/tex], второто от които отпада - поради равенство на корените.

Ако
[tex]\alpha=-\frac{1}{2a}-\frac{1}{2a}\sqrt{\frac{a+1}{2}}[/tex]
и
[tex]\beta=-\frac{1}{2a}+\frac{1}{2a}\sqrt{\frac{a+1}{2}}[/tex]

се стига до [tex]a_2=5+4\sqrt{2}[/tex] и [tex]a=5-4\sqrt{2}[/tex], второто от които също отпада - само че поради отрицателност на дискриминантата.

[math10.com]

[tex]\alpha =- \frac{1}{2a}+\frac{1}{2a}\sqrt{\frac{a+1}{2}} ; \beta = - \frac{1}{2a}-\frac{1}{2a}\sqrt{\frac{a+1}{2}}[/tex]

[tex]\frac{5}{2a}(\sqrt{\frac{a+1}{2}}-1)-\frac{-3}{2a}(\sqrt{\frac{a+1}{2}}+1)=1[/tex]

[tex]\Rightarrow 2a-8\sqrt{\frac{a+1}{2}}+2=0[/tex]

[tex]\Rightarrow a+1-4\sqrt{\frac{a+1}{2}}=0[/tex]

Нека [tex]\sqrt{\frac{a+1}{2}}=v >0 \Rightarrow a+1=2v^2 \Rightarrow 2v^2-4v=0[/tex]

[tex]v_1=0 ; v_2=2 \Rightarrow a+1=8 \Rightarrow a=7[/tex]

[tex]\alpha =- \frac{1}{2a}-\frac{1}{2a}\sqrt{\frac{a+1}{2}} ; \beta = - \frac{1}{2a}+\frac{1}{2a}\sqrt{\frac{a+1}{2}}[/tex]

[tex]\frac{-5}{2a}(\sqrt{\frac{a+1}{2}}+1)-\frac{3}{2a}(\sqrt{\frac{a+1}{2}}-1)=1[/tex]

[tex]\Rightarrow 2a+8\sqrt{\frac{a+1}{2}}+2=0[/tex]

[tex]\Rightarrow a+1+4\sqrt{\frac{a+1}{2}}=0[/tex]

Нека [tex]\sqrt{\frac{a+1}{2}}=u >0 \Rightarrow a+1=2u^2 \Rightarrow 2u^2+4u=0[/tex]

[tex]u_1=0 ; u_2=-2[/tex] не са решения ([tex]u>0[/tex])

[Davids]

Намерих си грешката в един проклет минус, който съм забравил и трите пъти, като пререшавах... Чудна работа, направо не знам... Благодаря за корекциите!