Логаритмично неравенство

[Davids]

Да се реши неравенството:
$$\log_{x-2}(5x + 4).\log_{x-2}\frac{5x+4}{x-2} \le 2$$

Отново имаме несъответствие с отговорите, но няма да подсказвам за обективност.

[Knowledge Greedy]

ДМ: [tex]x>2 и x\ne 3[/tex]

Като положим [tex]log_{x-2}(5x+4) =t[/tex]

получаваме квадратното неравенство [tex]t^2-t-2\le 2[/tex]

откъдето

[tex]-1\le t \le 2[/tex]

Първи случай: [tex]0<x-2<1[/tex] , т.е. [tex]x\in (2;3)[/tex]

След антилогаритмуване (знаците се обръщат, поради по-малката от 1 основа)
[tex]\begin{array}{|l} 5x - 4 >1 \\ \frac{1}{x-2} \ge 5x+4 \end{array}[/tex]

която система няма решение заради второто неравенство, чиито решения излизат извън дефиниционния интервал.

Втори случай: [tex]x-2>1[/tex] , т.е. [tex]x\in (3;+\infty)[/tex]

[tex]\begin{array}{|l} 5x - 4 <1 \\ \frac{1}{x-2} \le 5x+4 \end{array}[/tex]

Сега пък системата няма решение заради първото неравенство, т.к. то е равносилно на [tex]x<1[/tex] - отново в противоречие с дефиниционния интервал.

Извод: няма такива [tex]x[/tex].

[Davids]

Аз пък не съм съгласен.. май
Пререших я наново и този път получих същия отговор като дадения. Ще започна директно от вярното:
$-1 \le \log_{x-2}(5x+4) \le 2$

I) случай:
При $x - 2 < 1 \Leftrightarrow x \in (2, 3)$ системата е еквивалентна на:

[tex]\begin{array}{|l} 5x + 4 \le \frac{1}{x-2} \\ 5x + 4 \ge (x-2)^2 \end{array}[/tex]

Хващаме първото неравенство:
$\frac{(5x+4)(x-2) - 1}{x-2} \le 0$
$\frac{5x^2 - 6x - 9}{x-2} \le 0$

Корени на числителя са $x_{1,2} = \frac{3 \mp 3\sqrt{6}}{5}$, като $x = 2$ лежи точно между тях.
Значи решение на неравенството е $x \in \Big(-\infty; \frac{3-3\sqrt{6}}{5}\Big] \cup \Big(2; \frac{3 + 3\sqrt{6}}{5}\Big]$. Пресечено с ДМ за случая, това ни дава само втората част $\boxed{x \in \Big(2; \frac{3 + 3\sqrt{6}}{5}\Big]}$.

Хващаме и второто неравенство:
$5x + 4 \ge (x-2)^2$
$5x + 4 \ge x^2 - 4x + 4$
$x(x-9) \le 0$
Решението ни е $x \in [0, 9]$. Пресечено с ДМ за случая, това ни дава $\boxed{x \in (2, 3)}$.

Сечем решенията на двете неравенства и за този случай получаваме: $\boxed{x \in \Big(2; \frac{3 + 3\sqrt{6}}{5}\Big]}$

II) случай:
При $x - 2 > 1 \Leftrightarrow x > 3$.

Сметките са същите, но с обърнати знаци и друго ДМ.
Решения след сечение с ДМ са респективно $x > 3$ и $x \ge 9$. Пресечени помежду си ни дават $x \ge 9$.

Обединявайки двете решения на двата случая, получаваме окончателния отговор на задачата: $\boxed{x \in \Big(2; \frac{3 + 3\sqrt{6}}{5}\Big] \cup \Big[9, +\infty\Big)}$

Бъркам ли някъде?