Лице на ромб

[Davids]

Да се намери лицето на ромб $ABCD$, ако радиусите на описаните около $\triangle ABC$ и $\triangle ABD$ окръжности са съответно $R$ и $r$.
Малко предизвикателство за любителите на геометрията.

Скрит текст: покажи

Отг.: $S_{ABCD} = \frac{8R^3r^3}{(R^2 + r^2)^2}$

[S.B.]

Да се намери лицето на ромб $ABCD$, ако радиусите на описаните около $\triangle ABC$ и $\triangle ABD$ окръжности са съответно $R$ и $r$.
Малко предизвикателство за любителите на геометрията.

Скрит текст: покажи

Отг.: $S_{ABCD} = \frac{8R^3r^3}{(R^2 + r^2)^2}$

Без заглавие - 2020-06-20T190834.708.png (255.15 KiB) Прегледано 915 пъти

За [tex]\triangle ABD[/tex] прилагам Синусова теорема :
$\frac{d_{1 }}{sin\alpha} = 2R \Rightarrow d_{1 } = 2R.sin\alpha$
За $\triangle ABC$ прилагам Синусова теорема :
$\frac{d_{2 }}{sin(180^\circ - \alpha)} = 2r \Leftrightarrow d_{2 } = 2r.sin\alpha$
От $\triangle AOB \rightarrow \displaystyle\frac{\displaystyle\frac{d_{1 }}{2}}{\displaystyle\frac{d_{2 }}{2}} = tg\displaystyle\frac{\alpha}{2} \Rightarrow tg\displaystyle\frac{\alpha}{2} = \displaystyle\frac{d_{1 }}{d_{2 }}$
$\frac{d_{1 }}{d_{2 }} = \frac{2Rsin\alpha}{2rsin\alpha} = \frac{R}{r} \Rightarrow tg\frac{\alpha}{2} = \frac{R}{r}$

$\begin{array}{|l} \displaystyle\frac{sin\displaystyle\frac{\alpha}{2}}{cos\displaystyle\frac{\alpha}{2}} = \displaystyle\frac{R}{r}\\ sin^{2}\displaystyle\frac{\alpha}{2} + cos^{2}\displaystyle\frac{\alpha}{2} = 1 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} sin\displaystyle\frac{\alpha}{2} = \displaystyle\frac{R}{r}.cos\displaystyle\frac{\alpha}{2} \\\displaystyle \frac{R^{2}}{r^{2}}.cos^{2}\displaystyle\frac{\alpha}{2} + cos^{2}\displaystyle\frac{\alpha}{2} = 1 \end{array}$
$cos^{2}\frac{\alpha}{2}(\frac{R^{2} + r^{2}}{r^{2}}) = 1 \Rightarrow cos^{2}\frac{\alpha}{2} = \frac{r^{2}}{R^{2} + r^{2}}$
$cos^{2}\frac{\alpha}{2} = \frac{1 + cos\alpha}{2} \Rightarrow cos\alpha = 2cos^{2}\frac{\alpha}{2} - 1 \Rightarrow cos\alpha = \frac{r^{2} - R^{2}}{r^{2} + R^{2}} ,sin\alpha = \sqrt{1 - cos^{2}\alpha} = ....=$
$sin\alpha = \frac{2rR}{r^{2} + R^{2}}$
$d_{1 } = 2rsin\alpha \Rightarrow d_{1 } = \frac{4r^{2}R}{r^{2} + R^{2}}$
$d_{2 } = 2Rsin\alpha \Rightarrow d_{2 } = \frac{4rR^{2}}{r^{2} + R^{2}}$
$$ S = \frac{d_{1 }d_{2 }}{2} = \frac{8r^{3}R^{3}}{(r^{2} + R^{2})^{2}}$$

[Евва]

Скрит текст: покажи

Ще използвам означенията в чертежа на S.B.Започвам с формула,която се използва по-рядко.

[tex]\begin{array}{|l} S_{ABC } = 2R^{2}sin\frac{\alpha}{2}.sin\frac{\alpha}{2}.sin(180^\circ-\alpha) \\ S_{ABD } = 2r^{2}.sin(90^\circ-\frac{\alpha}{2}).sin(90^\circ-\frac{\alpha}{2}).sin\alpha \end{array}[/tex]

[tex]\begin{array}{|l} \frac{S_{ABCD }}{2} = R^{2}2sin^{2}\frac{\alpha}{2}.sin\alpha |.2\\ \frac{S_{ABCD }}{2} = r^{2}2cos^{2}\frac{\alpha}{2}.sin\alpha |.2 \end{array}[/tex]

(1)[tex]\begin{array}{|l} S_{ABCD } = 2R^{2}(1-cos\alpha)sin\alpha \\ S_{ABCD } = 2r^{2}(1+cos\alpha)sin\alpha \end{array}[/tex] (делим ги)

1=[tex]\frac{R^{2}(1-cos\alpha)}{r^{2}(1+cos\alpha)}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] cos[tex]\alpha[/tex]=[tex]\frac{R^{2}-r^{2}}{R^{2}+r^{2}}[/tex]
Тогава лесно се намира,че sin[tex]\alpha[/tex]=[tex]\frac{2rR}{R^{2}+r^{2}}[/tex]

Скрит текст: покажи

Намерените sin[tex]\alpha[/tex] и cos[tex]\alpha[/tex] заместваме в (1).

[tex]S_{ABCD }[/tex]=2[tex]R^{2}[/tex](1-[tex]\frac{R^{2}-r^{2}}{R^{2}+r^{2}}[/tex]).[tex]\frac{2rR}{R^{2}+r^{2}}[/tex]

[tex]S_{ABCD }[/tex]=2[tex]R^{2}[/tex].[tex]\frac{2r^{2}}{R^{2}+r^{2}}[/tex].[tex]\frac{2rR}{R^{2}+r^{2}}[/tex]

[tex]S_{ABCD }[/tex]=[tex]\frac{8r^{3}R^{3}}{(R^{2}+r^{2})^{2}}[/tex]