Описан около окръжност трапец

[Меди]

Здравейте,

ще съм много благодарен, ако може да ми дадете някакви насоки по задачата.

Около окръжност с радиус $5$ $cm$ е описан равнобедрен трапец. Отсечката, съединяваща допирните точки на бедрата на трапеца с окръжността, има дължина $8$ $cm.$ Намерете котангенсите на острите ъгли на трапеца.

Описан около окръжност равнобедрен трапец.png (9.52 KiB) Прегледано 1679 пъти

Все още сме дефинирали тригонометричните функции само за остри ъгли в правоъгълен триъгълник, така че за да намерим котангенса на острия ъгъл на трапеца, е необходимо да го вкараме в някакъв правоъгълен триъгълник. Това става най-лесно с построяването на височината на трапеца, нека $DD_1\perp AB, D_1\in AB.$ Сега $\operatorname{cotg}{\measuredangle DAD_1}=\dfrac{AD_1}{DD_1}=\dfrac{AD_1}{2r}=\dfrac{AD_1}{10}.$ Трябва да намерим $AD_1.$ Означил съм допирните точки на вписаната окръжност със страните на трапеца на чертежа. Може да докажем, че $MN$ е успоредна на основите на трапеца. Друго нещо, което може би трябва да влезе в решението, е необходимото и достатъчно условие един изпъкнал четириъгълник да бъде описан около окръжност, а именно при вече въведените означения: $AB+CD=AD+BC=2AD.$ Не съобразявам обаче как да използвам дължината на $MN.$ Благодаря предварително!

[S.B.]

Ще си позволя да използвам собствен чертеж:

Без заглавие - 2020-06-23T193600.741.png (225.75 KiB) Прегледано 1665 пъти

Около четириъгълника [tex]APOM[/tex] може да се опише окръжност - понеже има два срещуположни прави ъгли
$\Rightarrow $ ако $\angle MAP = \alpha$ то $ \angle POM = 180^\circ - \alpha , \angle MOQ$ е съседен на $\angle MOP \Rightarrow \angle MOQ = \alpha$
$PQ$ е диаметър ,$PQ\bot MN$.....
От $\triangle MOK \rightarrow \frac{MK}{MO} = sin\alpha \Rightarrow sin\alpha = \frac{4}{5}$
Според Питагор $KO = 3 \Rightarrow cos\alpha = \frac{3}{5}$
$$cotg\alpha = \displaystyle\frac{cos\alpha}{sin\alpha} = \displaystyle\frac{\displaystyle\frac{3}{5}}{\displaystyle\frac{4}{5}} = \displaystyle\frac{3}{4}$$

[Меди]

Ще си позволя да използвам собствен чертеж:

Без заглавие - 2020-06-23T193600.741.png

Около четириъгълника [tex]APOM[/tex] може да се опише окръжност - понеже има два срещуположни прави ъгли
$\Rightarrow $ ако $\angle MAP = \alpha$ то $ \angle POM = 180^\circ - \alpha , \angle MOQ$ е съседен на $\angle MOP \Rightarrow \angle MOQ = \alpha$
$PQ$ е диаметър ,$PQ\bot MN$.....
От $\triangle MOK \rightarrow \frac{MK}{MO} = sin\alpha \Rightarrow sin\alpha = \frac{4}{5}$
Според Питагор $KO = 3 \Rightarrow cos\alpha = \frac{3}{5}$
$$cotg\alpha = \displaystyle\frac{cos\alpha}{sin\alpha} = \displaystyle\frac{\displaystyle\frac{3}{5}}{\displaystyle\frac{4}{5}} = \displaystyle\frac{3}{4}$$

Благодаря! Много красиво и чисто решение! Ето защо трябва да качвам задачи по-често във форума, за да виждам такива свежи идеи.

[Евва]

Според чертежа на S.B. може директно да твърдим ,че [tex]\angle[/tex]DAP=[tex]\angle[/tex]MOK ,
защото са ъгли с взаимноперпендикулярни рамене от един и същ вид.