Ъглополовящи и перпендикуляри (известна задача)

[ins-]

Върху отсечката [tex]MN[/tex], съединяваща основите на вътрешните ъглополовящи [tex]AM[/tex] и [tex]BN[/tex] в триъгълника [tex]ABC[/tex] е избрана произволна точка [tex]P[/tex], от която са спуснати перпендикуляри [tex]PD[/tex], [tex]PE[/tex] и [tex]PF[/tex], съответно към страните [tex]BC[/tex], [tex]CA[/tex] и [tex]AB[/tex]. Да се докаже, че [tex]PF=PD+PE[/tex].

[Illuzion]

Построяваме перпендикуляри $NU$ към $BC$, $NX$ към $AB$, $MV$ към $AC$ и $MY$ към $AB$. Нека $MN\cap AB=S$ (случаят, в който са успоредни, се оправя лесно). Сега лесно изразяваме $PD\cdot MN=MP\cdot NU$ и $PE\cdot MN=NP\cdot MV$.

Ако ъгълът между $MN$ и $AB$ е $\varphi$ и б. о. о.
точка $B$ е между $A$ и $S$, то лесно виждаме $$PF=NX-NP\cdot \sin{\varphi}$$ $$=MY+MP\cdot \sin{\varphi}, $$ откъдето $$PF\cdot MN=PF(NP+MP)=MP\cdot NX+NP\cdot MY$$(отбелязваме, че при $AB||MN$ тази зависимост също е в сила).

Така остана да проверим $$PM\cdot NU+PN\cdot MV=PM\cdot NX+PN\cdot MY, $$ което наистина е вярно, понеже $NU=NX$ и $MV=MY$.

[ins-]

Радвам се, че пуснах задачата и видях различен подход. Моята идея беше да се ползват малко допълнителни построения, отношения на лица, подобия/Талес и теорема за ъглополовящата. По този начин може да се мине без използване на тригонометрия, но има известно писане.