Система уравнения с радикали

[ins-]

Да се реши системата:

[tex]a.\sqrt{x+z-y}.\sqrt{x+y-z} = x.\sqrt{yz}[/tex]

[tex]b.\sqrt{x+y-z}.\sqrt{y+z-x} = y.\sqrt{xz}[/tex]

[tex]c.\sqrt{y+z-x}.\sqrt{x+z-y} = z.\sqrt{xy}[/tex]

[peyo]

Чудех се за следното решение:

Системата изглежда напълно симетрична спрямо x,y,z и a,b,c, тоест ако по случаен начин разменим променливите в двете групи ще получим съвсем същата система. Тогава ако има отговор следва, че $x=y=z$ и $a=b=c$.

Но тогава ще получим, че $a=x$, $b=y$, $c=z$. Тогава единственото решение остава:
$x=y=z=a=b=c$ и всяко число може да е отговор.

[Гост]

$x=y=z=a=b=c$ и всяко число може да е отговор.

[tex]a,b[/tex] и [tex]c[/tex] може да са различни. Освен това са положителни.

[Гост]

По-скоро [tex]a[/tex], [tex]b[/tex] и [tex]c[/tex] са неотрицателни.

[ins-]

Моята идея беше да се положи [tex]u=x+y-z[/tex], [tex]v=x-y+z[/tex], [tex]w=-x+y+z[/tex]. След това две от уравненията да се повдигнат на квадрат и да се разделят почленно. Ама мързелът не мори, а мъчи

[peyo]

Моята идея беше да се положи [tex]u=x+y-z[/tex], [tex]v=x-y+z[/tex], [tex]w=-x+y+z[/tex]. След това две от уравненията да се повдигнат на квадрат и да се разделят почленно. Ама мързелът не мори, а мъчи

Аз все още си мисля, моя отговор е верен, защото никой не е дал отговор с различни числа.

[grav]

Моята идея беше да се положи [tex]u=x+y-z[/tex], [tex]v=x-y+z[/tex], [tex]w=-x+y+z[/tex]. След това две от уравненията да се повдигнат на квадрат и да се разделят почленно. Ама мързелът не мори, а мъчи

Аз все още си мисля, моя отговор е верен, защото никой не е дал отговор с различни числа.

[tex]x=0,y=z\not=0[/tex]

[peyo]

Аз все още си мисля, моя отговор е верен, защото никой не е дал отговор с различни числа.

[tex]x=0,y=z\not=0[/tex]

Ок, валидно решение, моя грешка. А като се замисля малко повече, грешката ми е, че дори системата да е напълно симетрична спрямо промениливите, то това не означава задължително, че числата в отговора ще са еднакви.

[Гост]

Други идеи? Системата може да се реши поне по два начина.

[peyo]

Да се реши системата:

[tex]a.\sqrt{x+z-y}.\sqrt{x+y-z} = x.\sqrt{yz}[/tex]

[tex]b.\sqrt{x+y-z}.\sqrt{y+z-x} = y.\sqrt{xz}[/tex]

[tex]c.\sqrt{y+z-x}.\sqrt{x+z-y} = z.\sqrt{xy}[/tex]

Тази задача ме затрудни. Гледах обаче ето това видео:

https://www.youtube.com/watch?v=BRJjqyBnMcc

Където Valery Volkov (много добър канал за математика между другото) събира 3-те уравнение за да намери решение. Това ми даде идея да умножа 3-те уравнения в нашия случай и получаваме това:

$abc(-x + y + z)(x - y + z)(x + y - z) = x^2y^2z^2$

Съшо така да вземем например 1-вото уравнение и да вдигнем двете страни на квадрат:
[tex]a^2(x+z-y)(x+y-z) = x^2yz[/tex]

Сега забелязввваме, че втората и третата част от умножените ураввнения са почти същото като първото вдигнато на квадрат уравнение. Заместване еднаквите части и получаваме:

$bc(-x + y + z)x^2yz = ax^2y^2z^2$
Или:
$bc(-x + y + z) = ayz$
По подобен начин и другите 2 стават:
$ab(-y + x + z) = cxz$
$ac(-z + y + x) = byx$

И сега вече имаме много по-лесна система от втора степен за разлика от многото радикали с които започнахме. Сега вече можем да накараме Sympy да ни я реши (първоначалната не можеше):

In [487]: solve( [-a*y*z + b*c*(-x + y + z),
...: a*b*(x - y + z) - c*x*z,
...: a*c*(x + y - z) - b*x*y],
...: [x,y,z] )
Out[487]:
[(0, 0, 0),
(0, 2*b*c/a, 2*b*c/a),
(2*a*c/b, 2*a*c/b, 0),
(2*a*b/c, 0, 2*a*b/c),
(-a*(a**2 - b**2 - c**2)/(b*c),
c*(a**2 + b**2 - c**2)/(a*b),
(a**2*b - b**3 + b*c**2)/(a*c))]

Доста сигурен съм, че намерихме всички валидни решения, но понеже направихме едно вдигане на квадрат, възможно е да сме получили и невалидни решения и може би трябва да помислим малко повече.